Oggi affrontiamo un argomento “particolare”, legato alla scomposizione in fattori primi, che vi tornerà utile anche in futuro, quando affronterete lo studio di quelli che si chiamano “radicali”.
Cominciamo con qualche definizione
QUADRATI E CUBI PERFETTI: che cos’è un quadrato perfetto
Un quadrato è un numero che si ottiene elevando al quadrato un numero naturale:
16 è un quadrato poichè
4²=16
225 è un quadrato poichè
15² =225
In generale:
Un numero è un quadrato perfetto se tutti gli ESPONENTI dei suoi fattori sono PARI.
Nella pratica:
Quando nella scomposizione in fattori primi di un numero compaiono solo fattori con ESPONENTI PARI, il numero è un QUADRATO PERFETTO e possiamo calcolare velocemente la sua radice quadrata.
Se non vogliamo ricorrere alla scomposizione in fattori primi, possiamo memorizzare la seguente REGOLA, che però non sempre è valida:
- Se un numero termina con le cifre 2, 3, 7, 8 o con un numero dispari di zeri non è un quadrato perfetto.
- Se un numero termina con le cifre 1, 4, 5, 6, 9 o con un numero pari di zeri può essere un quadrato perfetto, ovviamente non tutti i numeri che terminano con queste cifre sono quadrati perfetti. Ad esempio 16 è un quadrato perfetto ma 56 no!
Vediamo che cosa significa la definizione precedente con qualche esempio.
ESEMPIO 1
Proviamo a stabilire se 2025 è un quadrato perfetto.
Scomponiamolo in fattori primi :
Scriviamo la fattorizzazione del numero :
2025 = 34 x 52
Tutti i fattori del numero hanno ESPONENTE PARI, quindi il numero è un QUADRATO PERFETTO.
Possiamo perciò calcolare facilmente la sua radice quadrata, dividendo gli esponenti della fattorizzazione per 2:
ESEMPIO 2
Stabiliamo se 225 è un quadrato perfetto. Come prima, scomponiamolo in fattori primi:
Nel pdf trovate la teoria e qualche esercizio da svolgere.
QUADRATI PERFETTI
QUADRATI E CUBI PERFETTI: che cos’è un cubo perfetto
Sappiamo che il cubo di un numero è il prodotto di tre fattori uguali al numero dato, ovvero si ottiene elevando alla terza il numero stesso.
Più in generale:
Quando nella scomposizione in fattori primi di un numero compaiono solo fattori con 3 oppure multiplo di 3, il numero è un CUBO PERFETTO e possiamo calcolare velocemente la sua radice cubica. Ci basta dividere infatti ciascun esponente per 3
Come al solito, vediamo che cosa significa questa definizione con un esempio
ESEMPIO 1
Proviamo a stabilire se 216 è un cubo perfetto.
Scomponiamolo in fattori primi:
Scriviamo la fattorizzazione del numero :
216 = 23 x 33
Tutti i fattori del numero hanno ESPONENTE 3, quindi il numero è un CUBO PERFETTO.
Possiamo perciò calcolare facilmente la sua radice cubica
Nel pdf trovate la teoria e qualche esercizio