Dopo aver parlato delle quattro operazioni nell’insieme dei numeri interi (relativi), oggi ci occupiamo dell’operazione di elevamento a potenza e poi metteremo in pratica quanto visto finora.
POTENZE ED ESPRESSIONI IN Z :POTENZA DI UN INTERO CON ESPONENTE NATURALE
Per il momento vi occupiamo solo delle potenze intere con esponente naturale. In questo caso:
La potenza di un numero intero è un intero che ha :
- come valore assoluto la potenza del valore assoluto;
- per segno invece
- se la base è un numero positivo il risultato della potenza sarà sempre positivo;
- se la base è negativa, IL SEGNO DIPENDE DALL’ESPONENTE:
- CON esponente dispari, la potenza è negativa
- con esponente PARI, la potenza è POSITIVA
Possiamo scrivere :
Se a è il valore assoluto della base, p un numero naturale pari e d uno dispari:
- (+a)p= +ap;
- (+a)d= + ad;
- (-a)p= + ap;
- (-a)d= – ad.
NOTA BENE
L’operazione di potenza ha la precedenza rispetto al segno. Se quindi una potenza è scritta senza le parentesi, significa che è riferita solo al numero (in valore assoluto) e non al segno che la precede:
-4² = -16!!!
Invece
(-4)² = + 16
POTENZE ED ESPRESSIONI IN Z :PROPRIETA DELLE POTENZE IN Z
Ricordiamo che
- a1= a;
- a = 1, con a
0; - 00 non è definita;
- 0n= 0, con n€ℕ e n≠ 0.
Per le potenze in Z valgono le stesse proprietà delle potenze valide in N.
ESEMPI:
- (-3)³ = (-3) (-3) (-3) = -27
- (-2)² = (-2) (-2) = +4
POTENZE ED ESPRESSIONI IN Z : esercitiamoci con le potenze
ESERCIZIO 1 : Calcola il valore delle seguenti potenze:
- (+3)2 =
- (-1)2 =
- (+1)3 =
- (-2)2 =
- (-2)3 =
- (+2)3 =
- (-3)2 =
- (-3)3 =
- (-4)1 =
- (+4)1 =
- (-4)2 =
- (-2)4 =
- (-3)0 =
- (-1)5 =
- (-2)4 =
ESERCIZIO 2 :Applica le proprietà delle potenze
- (-3)2∘ (-3)3=
- (-2)4∘ (-2)5 =
- (-5) ∘ (-5)5 =
- (-10)2∘ (-2)2 =
- (-2)4: (-2)2 =
- (-3)4: (-3)3 =
- (-7)4: (-7)4 =
- (-6)4: (+2)4 =
- [(-2)4]5 =
- [(-3)2]3 =
- (-3)4∘ (+3)4 =
- (-8)6: (-4)6 =
- {[(-3)4]2}3 =
- [(-7)3]2: (-7)4 =
POTENZE ED ESPRESSIONI IN Z : LE ESPRESSIONI
Ricordiamo che si definisce “espressione” una scrittura in cui compaiono dei numeri, legati tra di loro da varie operazioni ed eventualmente parentesi.
Anche nel caso dei numeri interi valgono le stesse regole di priorità viste nel caso dei numeri naturali
- eseguiamo prima le potenze, nell’ordine in cui compaiono
- poi eseguiamo moltiplicazioni e divisioni, sempre nell’ordine in cui compaiono;
- infine calcoliamo le somme, nell’ordine in cui compaiono
Ovviamente, se in un’espressione compaiono delle parentesi, dovremo eseguire PRIMA i calcoli all’interno delle parentesi TONDE, poi quelli all’interno delle parentesi QUADRE ed infine quelli all’interno delle parentesi GRAFFE. Infine calcoleremo l’espressione priva di parentesi ottenuta.
All’interno delle parentesi, le priorità tra le operazioni sono quelle elencate prima!
POTENZE ED ESPRESSIONI IN Z: esercizi
SEMPLIFICA LE SEGUENTI ESPRESSIONI CON I NUMERI RELATIVI
- [(-2) ∘ (-3)+(6+3) : (-3)-2] = [1]
- [2 ∘ (-4)-16 : (-8)+7] ∘ (-1)-5 = [-6]
- {[(-10+4) : (-3)-3] ∘ (-8)} : (-6+4) [-4]
- 16+[(-8+6) ∘ 2+16 : 2] ∘ (-2-1) [4]
- (-5+1) ∘ (5-6)+2-3 ∘ [2-9 : (-2-1)] [-9]
- (-18) : 3-8+12 :(-6)-(7 ∘ 3-10)+8 ∘ 2 [-11]
- (-4-1) ∘ (4-5)+2-3 ∘ [2-8 : (-3-1)] [-5]
- {[(-10+6) : (-2)-2] : 8} : 15+[(-4+6) ∘ 2+(15 : 3)] : (-3) [-3]
- 3 ∘ 4+{3- [2-(1-3)+7] ∘ (10-7)-(-13+3)} [-8]
Dedicheremo un’ultima “lezione” all’argomento, per ripassare quanto visto con tanti esercizi!