PROBLEMI CON M.C.D. e m.c.m.

PROBLEMI CON M.C.D. e m.c.m.

Utilizzando i concetti di massimo comune divisore (M.C.D.) e di minimo comune multiplo (m.c.m.) possiamo risolvere particolari problemi, che può capitarci di incontrare nella realtà

PROBLEMI CON M.C.D. e m.c.m.  : PROBLEMI CON M.C.D.

si ricorre al M.C.D. nei problemi nei quali ci viene richiesto di SUDDIVIDERE quantità in PARTI INTERE della MASSIMA GRANDEZZA POSSIBILE.

Vediamo con alcuni esempi

ESEMPIO 1

Con 18 gladioli e 24 tulipani, Tiziana vuole preparare dei vasi contenenti solo gladioli o solo tulipani in uguale numero,  che sia il maggiore possibile.

Quanti tulipani o gladioli conterrà ciascun vaso?

RISOLUZIONE

Per suddividere gladioli e tulipani nello stesso numero, questo numero deve essere necessariamente un divisore comune di 18 e 24. Inoltre, dovendo essere il maggiore possibile, esso dovrà essere il divisore comune più grande. Dobbiamo quindi calcolare

M.C.D.(18,24)

Scomponiamo i due numeri in fattori primi:

• 18 = 3² x 2
• 24 = 2³ x 3

La regola per il calcolo del M.C.D. ci dice che esso è uguale al prodotto dei fattori primi COMUNI, pres una sola volta e con il MINIMO esponente.

Risulta quindi:

M.C.D.(18,24)  = 3 x 2 = 6

RISPOSTA :

Ogni vaso conterrà quindi 6 gladioli oppure 6 tulipani

ESEMPIO 2

Per traslocare, Luigia vuole sistemare i suoi libri in scatoloni contenenti tutti uno stesso numero di volumi dello stesso tipo, che sia il massimo possibile. Sapendo che i libri sono 90 romanzi di autori stranieri, 54 di autori italiani e 72 di argomento scientifico, quanti libri conterrà ogni scatolone? Inoltre, quanti scatoloni serviranno a Luigia?

RISOLUZIONE

Anche in questo caso, la parola chiave è SUDDIVIDERE. Siccome dobbiamo distribuire i libri in NUMERO UGUALE negli scatoloni, dobbiamo calcolare un DIVISORE COMUNE tra 90, 54 e 72.

Questo divisore deve essere il MAGGIORE POSSIBILE. Per definizione, tale divisore è il M.C.D. tra i tre numeri.

Scomponiamo i tre numeri in fattori primi:

• 90 = 9 x 10 = 3² x 2 x 5
• 54 = 6 x 9 = 2 x 3 x 3² = 2 x 3³
• 72 = 8 x 9 = 2³  x 3²

Risulta quindi :

M.C.D. (54, 72,90) = 2 x 3² = 18

Calcoliamo ora quanti scatoloni serviranno a Luigia per il trasloco:

• 90 : 18 = 5
• 54 : 18 = 3
• 72 : 18 = 4

In tutto serviranno  5 + 3 + 4 = 12 scatoloni

RISPOSTA

In ciascuno scatolone Luigia dovrà mettere 18 libri ed avrà bisogno di 12 scatoloni.

PROBLEMI CON M.C.D. e m.c.m.  : PROBLEMI CON m.c.m.

Utilizziamo spesso il m.c.m. nel caso di problemi che richiedono di valutare eventi che si ripetono PERIODICAMENTE.

Cerchiamo di capire che cosa significa quest’affermazione con degli esempi:

ESEMPIO 1

Isa, Mara e Angelo vanno in piscina periodicamente. Isa vi si reca ogni 4 giorni, Mara ogni 6 giorni e Angelo ogni 9 giorni. Se oggi sono tutti e tre insieme in piscina, tra quanti giorni si incontreranno di nuovo?

RISOLUZIONE

Ecco che cosa significa l’affermazione fatta in precedenza: il m.c.m. ci permette di stabilire ogni quanto tempo uno stesso evento si ripeterà uguale a se stesso.

Infatti perché i tre amici si incontrino nuovamente in piscina, il numero di giorni che dovrà passare deve essere un multiplo comune tra 4, 6 e 9. Inoltre tale numero deve essere il più piccolo possibile.

Per definizione questo multiplo comune “più piccolo possibile” è il minimo comune multiplo tra i numeri indicati.

Scomponiamo velocemente 4,6 e 9 in fattori primi:

• 4 = 2²
• 6 = 2 x 3
• 9 = 3²

La regola ci dice che il m.c.m.  si ottiene moltiplicando tra loro tutti i fattori, comuni e non, presi una sola volta e con il più grande esponente.

In questo caso esso risulta quindi pari a :

m.c.m. (4,6,9) = 2² x 3² = 4 x 9 = 36

RISPOSTA:

I tre amici si incontreranno nuovamente in piscina tra 36 giorni

ESEMPIO 2

Tre aerei fanno scalo all’aeroporto di Milano Malpensa rispettivamente ogni 6, 15 e 20 giorni. Se fanno contemporaneamente scalo a Milano il 1 giugno, quale sarà la data del prossimo scalo contemporaneo a Milano?

SVOLGIMENTO

La parola chiave di questo tipo di problemi è “CONTEMPORANEAMENTE” (e suoi sinonimi). Infatti perché i tre aerei facciano nuovamente scalo tutti e tre nello stesso giorno, il numero di giorni deve essere un multiplo comune tra 6, 15 e 20.

Dovendo poi determinare lo scalo contemporaneo più vicino, dobbiamo trovare il multiplo comune a 6, 20 e 15 che sia il più piccolo possibile.

Scomponiamo quindi i tre numeri in fattori primi e poi calcoliamo il loro m.c.m. Abbiamo :

• 15 = 3 x 5
• 20 = 4 x 5 = 2² x 5
• 6 = 2 x 3

Prendiamo tutti i fattori, comuni e non, una sola volta e con l’esponente maggiore. Abbiamo quindi :

m.c.m. (15, 20, 28) = 2² x 3 x 5 = 60 giorni

RISPOSTA

I tre aerei faranno di nuovo scalo insieme a Malpensa tra due mesi, ovvero il PRIMO AGOSTO.

PROBLEMI CON M.C.D. e m.c.m.  : RICAPITOLANDO

Attraverso i concetti di M.C.D. e m.c.m. possiamo risolvere particolari tipi di problemi:

• utilizziamo il M.C.D. quando ci serve SUDDIVIDERE delle quantità in PARTI UGUALI
• ricorriamo al m.c.m. quando dobbiamo valutare eventi che si ripetono PERIODICAMENTE

Nel pdf allegato troverete numerosi problemi da risolvere, per vari livelli di difficoltà. Spero di riuscire a caricare quanto prima le soluzioni!

PROBLEMI CON MCD e mcm

PROBLEMI CON MCD e mcm soluzioni