GEOMETRIA ED ENTI FONDAMENTALI

Oggi introduciamo uno degli argomenti che io amo di più, la GEOMETRIA. Cominciamo con il richiamare qualche concetto fondamentale

GEOMETRIA ED ENTI FONDAMENTALI: la “misura della terra

La geometria è quella parte della matematica che si occupa della struttura e delle proprietà dello spazio, delle figure, della loro misura e rappresentazione.

Più precisamente:

la GEOMETRIA è la scienza che studia le proprietà geometriche che corpi che ci circondano, cioè FORMA. GRANDEZZA E TRASFORMAZIONI

È una delle discipline più antiche. Essa nacque probabilmente dall’attenta osservazione dei fenomeni che accadevano attorno ai nostri antenati.

Le osservazioni divennero conoscenze di carattere pratico e poi furono raccolte in teorie.

Il termine (che in greco significa “misura della Terra”) fu adottato per la prima volta da Erodoto nel descrivere le operazioni che gli egizi effettuavano per ridefinire i confini dei campi coltivati dopo le periodiche inondazioni del Nilo.

Secondo una tradizione storica, durante il VI secolo a.C. alcuni matematici e pensatori greci (principalmente Talete e Pitagora) cominciarono a organizzare in maniera razionale le conoscenze geometriche che Egiziani e Babilonesi avevano raggiunto nei secoli precedenti.

Nel III secolo a.C. il matematico ellenico Euclide, direttore della grande biblioteca di Alessandria in Egitto, diede una struttura razionale alle conoscenze geometriche note sino ad allora scrivendo una delle più grandi opere della cultura occidentale, gli Elementi. Divisi in 13 libri, i primi sei riguardano la Geometria Piana, i successivi quattro trattano i rapporti tra grandezze e gli ultimi tre riguardano la Geometria Solida.

La Geometria euclidea si basa su un certo numero di concetti primitivi e di assiomi (o postulati).

ASSIOMI sono le proprietà che i concetti primitivi devono soddisfare

Per mezzo dei concetti primitivi si possono poi definire o costruire tutti gli altri oggetti a cui la teoria e interessata

GEOMETRIA ED ENTI FONDAMENTALI : punto retta e piano

Come dicevamo, la Geometria euclidea si basa su cinque assiomi (nozioni comuni evidenti), cinque postulati (proposizioni che si richiede siano assunte come vere, senza dimostrazione) e 23 definizioni.

TRE sono gli Enti Geometrici Fondamentali o Primitivi : punto, retta e piano.

Di essi non diamo alcuna definizione e costituiscono la base per definire tutti gli altri enti della geometria.

Oltre a questi tre enti primitivi occorre poi assumere l’esistenza di tre relazioni primitive tra gli enti geometrici:

giacere su
stare fra
essere congruente a.

Queste relazioni permettono di stabilire dei legami tra gli enti geometrici, per esempio: «un punto giace su una retta», «un punto sta fra altri due punti», «un segmento è congruente a un altro segmento», . . .

Degli enti fondamentali Euclide aveva dato le seguenti definizioni:

punto è ciò che non ha parti;
linea è lunghezza senza larghezza;
superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle rette su di essa.

Il punto non ha dimensione, si indica con una lettera dell’alfabeto maiuscola (A, B, C, . . .). Per disegnarlo, poggiamo la matita o la penna sul foglio e poi la solleviamo.

La retta è un insieme continuo e infinito di punti, avente sempre la stessa direzione. Per indicare una retta usiamo una lettera minuscola: a, b, c, . . .

Il piano è un insieme continuo e infinito di rette. Non ha spessore ma solo lunghezza e larghezza. Per indicare un piano usiamo una lettera greca:α,β, γ, ….

GEOMETRIA ED ENTI FONDAMENTALI: IL METODO

Abbiamo detto che la geometria euclidea si basa sul metodo assiomatico – deduttivo. Il termine “assiomatico” significa “evidente e certamente vero” mentre “deduttivo” significa “derivato da un ragionamento logico e razionale”.

In pratica, il metodo assiomatico – deduttivo consiste nel porre alla base dello studio i concetti primitivi (che non possono essere definiti) e da questi, partendo da considerazioni sicuramente vere (gli ASSIOMI), arrivare a deduzioni attraverso ragionamenti logici e dimostrabili.