Proporzionalità diretta e inversa
Parlando di “proporzioni” e “rapporti” non possiamo fare a meno di cominciare a parlare di quelle che si chiamano grandezze direttamente e inversamente proporzionali. Anche se ne parleremo meglio in seguito, già sapete che ci sono grandezze di questo tipo. Oggi ci servono per introdurre due tipi di problemi che vi viene chiesto di risolvere quando si ha a che fare con le proporzioni: il problema del tre semplice!
Vediamo insieme di che cosa stiamo parlando
Proporzionalità diretta e inversa : definizioni
⇒ Due grandezze x e y sono direttamente proporzionali se il loro RAPPORTO è un valore costante k.
x/y = k
ovvero, possiamo scrivere :
y = kx
La funzione y = kx rappresenta l’equazione della funzione di proporzionalità diretta. Il suo grafico è una retta passante per l’origine degli assi.
In altre parole:
si dicono direttamente proporzionali due grandezze legate tra loro in modo che il loro RAPPORTO sia costante. Questo significa che all’aumentare dell’una aumenta anche l’altra.
⇒ Due grandezze x e y sono inversamente proporzionali se il loro PRODOTTO è un valore costante k.
xy = k
ovvero:
y = k/x
La funzione y = k/x rappresenta l’equazione della funzione proporzionalità inversa. Il suo grafico è un’iperbole equilatera che ha gli assi come asintoti.
In altre parole: si dicono inversamente proporzionali due grandezze legate tra loro in modo che il loro PRODOTTO sia costante. Questo significa che, all’aumentare dell’una, l’altra grandezza diminuisce
RICORDA:
Se confronto due grandezze OMOGENEE, il loro rapporto è un NUMERO (senza nessuna unità di misura)
Se invece confronto due grandezze NON OMOGENEE, cioè avente unità di misura diverse, il loro rapporto definisce una nuova grandezza!
Negli esempi vedremo alcune nuove grandezze, definite proprio come rapporto tra grandezze non omogenee!
Proporzionalità diretta e inversa: il problema del tre semplice
La proporzionalità trova diverse applicazioni pratiche in problemi:
- Tre semplice
- Tre composto
- Problemi di ripartizione semplice
- Problemi di ripartizione composta
- Percentuale
- Matematica finanziaria (interesse, sconto, …)
Per tutti questi problemi è fondamentale stabilire innanzi tutto se le grandezze coinvolte sono tra loro direttamente proporzionali o inversamente proporzionali.
Oggi ci occupiamo del problema del tre semplice diretto e inverso ma a breve torneremo anche a parlare delle altre situazioni che ci interessano
PROBLEMA DEL TRE SEMPLICE DIRETTO
In questo tipo di problemi troviamo due grandezze DIRETTAMENTE PROPORZIONALI e ci viene chiesto di determinare il valore di una grandezza dagli elementi assegnati
PROBLEMA DEL TRE SEMPLICE INVERSO
In questo tipo di problemi troviamo due grandezze INVERSAMENTE PROPORZIONALI e ci viene chiesto di determinare il valore di una grandezza dagli elementi assegnati
Vediamo alcuni esempi per capire meglio le astruse definizioni date qui sopra.
Proporzionalità diretta e inversa : PROBLEMA DEL TRE SEMPLICE diretto e inverso- esempi
Esempio 1
Supponiamo di percorrere in 2 ore 120 km. Quale distanza percorreremmo in 8 ore?
Tra distanza percorsa e tempo esiste una proporzionalità diretta quindi questo è un problema del tre semplice diretto. Per risolverlo dobbiamo trovare la costante di proporzionalità tra distanza e tempo (in Fisica scoprirete che si chiama velocità):
Costante proporzionalità = velocità = distanza percorsa : tempo impiegato a percorrerla = 120/2 = 60 km/h
Se quindi ogni ora percorriamo 60 km, in 8 ore percorreremo 480 km
Esempio 2
Sei lavoratori sono in grado di portare a termine un lavoro in 4 giorni. Quanto impiegherebbero 12 lavoratori a portare a termine lo stesso lavoro?
In questo caso il tempo e il numero di lavoratori sono INVERSAMENTE PROPORZIONALI: più lavoratori impiego, meno tempo mi serve per portare a termine il lavoro.
Si tratta quindi di un problema de tre semplice INVERSO: la costante di proporzionalità è pari al prodotto tra il numero di uomini e il numero di giorni
Costante proporzionalità: lavoro da compiere in giorni per ogni uomo = 6 x 4= 24 giorni uomo
Mi basta quindi dividere il numero di giorni /uomo per il numero di uomini per scoprire quanto impiegheranno i 12 lavoratori, ovvero 24 : 12 = 2 giorni.
Dodici lavoratori quindi impiegherebbero due giorni per completare il lavoro
Esempio 3
Ho guadagnato 240 euro in 6 ore di lavoro. Quanto guadagnerò in 8 ore?
In questo caso esiste una proporzionalità diretta tra le ore lavorate e il guadagno. Devo quindi calcolare quanto guadagno in un’ora per poter poi stabilire qual è il mio guadagno in 8 ore.
Siccome le due grandezze coinvolte sono direttamente proporzionali, si tratta di un problema del tre semplice DIRETTO.
Calcoliamo la costante di proporzionalità, cioè la paga oraria :
Costante proporzionalità = paga oraria = 240/6 = 40 euro/ora
In otto ore guadagnerò quindi 40 x 8 = 320 euro
Esempio 4.
Un elefante beve circa 150 litri d’acqua al giorno. Di quanta acqua avrà bisogno in 10 giorni ?
Anche in questo caso le due grandezze coinvolte sono direttamente proporzionali: l’acqua bevuta aumenta con il numero di giorni! Abbiamo quindi un altro problema del tre semplice diretto.
La costante di proporzionalità ci viene fornita direttamente dal problema ed è il fabbisogno giornaliero di acqua dell’elefante
Costante proporzionalità = fabbisogno d’acqua giornaliero = 150 litri/elefante
In dieci giorni, quindi, il nostro elefante berrà 150 x 10 = 1500 litri di acqua
Esempio 5.
Un elefante pesa mediamente 5650 kg e mangia una quantità di cibo pari al 5% del suo peso ogni giorno. Quanta mangia un elefante maschio in un giorno? Se un’elefantessa pesa in media 3150 kg, quale sarà il suo consumo di cibo giornaliero?
Anche questo è un problema del tre semplice diretto. Infatti la quantità di cibo mangiata è direttamente proporzionale al peso dell’animale.
Calcoliamo la costante di proporzionalità, pari al rapporto tra cibo ingerito e kg di peso:
Costante proporzionalità = cibo ingerito/peso = 5/100 kg cibo/ kg peso
Ci basta ora moltiplicare il peso corporeo dell’elefante per 5/100 per scoprire quanto cibo mangia un elefante ogni giorno:
5650 x 5/100 = 282,5 kg di cibo
Per l’elefantessa abbiamo:
3150 x 5/100 =157,5 kg di cibo!
Esempio 6.
Per un banchetto di 120 persone il cuoco, in base agli ingredienti disponibili, può fornire agli ospiti porzioni da 80 grammi di pasta. Se dovesse servire, con la stessa quantità di pasta, 150 persone quanto sarebbe il peso delle porzioni?
Questo è un problema del tre semplice inverso: infatti quantità di pasta servita e numero di ospiti sono inversamente proporzionali. All’aumentare del numero di ospiti, diminuiscono le porzioni!
La costante di proporzionalità è in questo caso pari al prodotto tra il peso di una porzione e il numero di invitati e corrisponde alla quantità di pasta disponibile:
Costante proporzionalità = quantità di pasta disponibile = (120 x 80) g di pasta = 9600 g
Ci basta ora dividere questo numero per il numero di invitati per sapere quanta pasta riceverà ogni ospite:
9600 : 150 = 64 g di pasta
Proporzionalità diretta e inversa: problemi vari
Proviamo a risolvere altri problemi con la proporzionalità.
Sappiamo che un albero alto 7 m proietta un’ombra di 3 m. Alla stessa ora, invece, una casa proietta un’ombra di 1,2 m. Quanto è alta la casa?
Ombra e altezza di un oggetto sono grandezze direttamente proporzionali. Ci basta quindi impostare una semplice proporzione per calcolare l’altezza della casa:
7 : 3 = x : 1,2
Per la proprietà fondamentale delle proporzioni, abbiamo:
x = (7 x 1,2) : 3 = 2,8 m
CURIOSITA’ : il grande matematico greco Talete sfruttò un ragionamento analogo per calcolare l’altezza delle piramidi!
Nel pdf allegato troverete altri esercizi simili!
grandezze direttamente e inversamente proporzionali teoria ed esercizi