Prima di passare a parlare di insiemi, ci resta un ultimo argomento legato ai numeri razionali da rivedere. Così completiamo il tutto e possiamo passare oltre!
Intanto vi annuncio che per il resto della settimana ci occuperemo un po’ di Geometria: infatti sembra che i miei ragazzi abbiano qualche difficoltà ad operare con gli angoli!
RAPPORTI e PROPORZIONI in breve: CHE COS’E’ UN RAPPORTO
Si chiama RAPPORTO il quoziente (il risultato cioè della divisione) tra due numeri a e b, con b ≠ 0.
Possiamo scrivere il rapporto tra due numeri in due modi:
- Come una DIVISIONE
2: 3 (e si legge “ due sta a tre”) - Come una FRAZIONE
2/3 (e si legge “due terzi”)
I numeri che compongono un rapporto hanno un loro nome:
- 2 e 3 sono i TERMINI DEL RAPPORTO
- 2 è l’ANTECEDENTE
- 3 è il CONSEGUENTE
Inoltre: se scambiamo antecedente e conseguente, otteniamo il RAPPORTO INVERSO:
3/2
Vale ovviamente la proprietà invariantiva:
Moltiplicando o dividendo entrambi i termini di un rapporto per uno stesso numero diverso
da zero, si ottiene lo stesso rapporto.
OSSERVAZIONE :In generale un rapporto viene usato per confrontare fra loro due grandezze.
- Il rapporto tra due grandezze omogenee è uguale al rapporto delle loro rispettive misure
espresse nella stessa unità di misura. Il rapporto è un numero puro, indipendente dall’unità
di misura prescelta. - Il rapporto tra due grandezze non omogenee è uguale al rapporto delle loro rispettive
misure. Il risultato è una grandezza derivata che dipende dalle unità di misura prescelte.
RAPPORTI e PROPORZIONI in breve : LA PROPORZIONE
Si chiama PROPORZIONE l’UGUAGLIANZA TRA DUE RAPPORTI.
Quattro numeri si dicono in proporzione e si scrive
a : b = c : d
se il rapporto tra i primi due è uguale al rapporto tra gli altri due. Vale cioè la seguente uguaglianza:
Nella proporzione:
- a e c sono detti ANTECEDENTI
- b e d sono detti CONSEGUENTI
- b e c sono detti MEDI
- a e c sono detti ESTREMI
In pratica: il primo termine di ciascun rapporto è sempre l’antecedente (a e c della generica proporzione) mentre il secondo termine (b e d) sono i conseguenti.
Il primo e il quarto termine della proporzione sono gli ESTREMI (a e d) mentre il secondo e il terzo termine sono i MEDI (b e c).
⇒ Si chiama CONTINUA una proporzione in cui i medi sono uguali:
a : b = b : c
Il medio comune prende il nome di MEDIO PROPORZIONALE.
OSSERVAZIONE: scopriremo che due grandezze, legate tra loro in modo che il loro rapporto sia costante, si dicono DIRETTAMENTE PROPORZIONALI
RAPPORTI e PROPORZIONI in breve : PROPRIETÀ FONDAMENTALE DELLE PROPORZIONI
Come già sappiamo
IN UNA PROPORZIONE del tipo a : b = c: d il PRODOTTO DEI MEDI è UGUALE al PRODOTTO DEGLI ESTREMI:
a ∘ d = b ∘ c
LA RICERCA DEL QUARTO PROPORZIONALE (tre semplice diretto)
Utilizzando la proprietà fondamentale delle proporzioni, possiamo trovare il QUARTO TERMINE di una proporzione di cui conosciamo gli altri tre termini.
In particolare, il termine ignoto viene di solito indicato con una x.
Ad esempio, vogliamo conoscere il quarto termine della seguente proporzione:
4: 6 = 14 : x
Per la proprietà fondamentale deve essere:
4 ∘ x = 6 ∘ 14
ovvero 4∘x = 84
Per determinare il quarto proporzionale dobbiamo quindi moltiplicare i medi tra loro e dividere il prodotto ottenuto per l’estremo conosciuto (se il termine sconosciuto è un medio, dovremo moltiplicare gli estremi tra loro e dividere il risultato per il medio conosciuto). In questo caso:
x = 84/4 = 21
La proporzione completa è quindi :
4 : 6 = 14 : 21
OSSERVAZIONE : In pratica dobbiamo risolvere una semplice equazione di primo grado!
Per determinare il MEDIO PROPORZIONALE di una proporzione continua, dobbiamo invece estrarre la radice quadrata del prodotto degli estremi:
4 : x = x : 36
x = √144 = 12
La proporzione completa è quindi :
4 : 12 = 12 : 36
RAPPORTI e PROPORZIONI in breve : PROPRIETÀ DELLE PROPORZIONI
Le proporzioni godono delle seguenti proprietà:
⇒ INVERTIRE : b : a = d : c
Scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente, si ottiene ancora una proporzione (anche i rapporti inversi formano una proporzione!)
⇒ proprietà del COMPORRE :
La somma del primo e del secondo termine sta al primo (o al secondo) come la somma del terzo e del quarto sta al terzo (o al quarto).
- (a + b) : a = (c + d) : c
- (a + b) : b = (c + d) : d
⇒ proprietà dello SCOMPORRE :
La differenza tra il primo e il secondo termine sta al primo (o al secondo) come la differenza tra il terzo e il quarto sta al terzo (o al quarto).
- (a – b) : a = (c – d) : c se a > b e c > d
- (a – b) : b = (c – d) : d se a > b e c > d
⇒ proprietà del permutare i medi:
Scambiando tra loro i medi si ottiene ancora una proporzione
a : c = b : d
⇒ proprietà del permutare gli estremi:
Scambiando tra loro gli estremi, si ottiene ancora una proporzione
d : b = c : a
Domani parleremo delle percentuali e poi vedremo delle applicazioni pratiche di proporzioni e percentuali!