I miei alunni più grandi stanno ripassando tutti i tipi di equazioni e disequazioni che hanno visto nel corso dei tanti anni di studio.
Per aiutarli, ho preparato questo articolo, che trovate a fine pagina in formato stampabile. Nei prossimi giorni, velocemente, cercherò di schematizzarvi al meglio anche altri argomenti, anche se molti li riprenderemo per approfondirli tra breve tempo.
In particolare, nelle prossime settimane ci concentreremo su equazioni e disequazioni, oltre che sul calcolo letterale e su argomenti di geometria analitica, come parabola, ellisse e circonferenza.
Nel pdf trovate l’articolo in formato stampabile, con qualche esempio svolto
EQUAZIONI IN BREVE: ripassiamo la teoria
Si dice IDENTITÀ una uguaglianza fra due espressioni (di cui almeno una letterale) verificata per qualsiasi valore attribuito alle lettere in essa presenti.
Si dice EQUAZIONE una uguaglianza fra due espressioni (di cui almeno una letterale) che può essere verificata solo per particolari valori attribuiti alle lettere in essa presenti.
In altre parole :
Un’equazione è un’uguaglianza tra due espressioni algebriche, contenenti variabili, che diventa vera per determinati valori attribuiti alle variabili stesse.
Se l’uguaglianza tra due espressioni algebriche, contenenti variabili, è sempre vera per qualsiasi valore attribuito alle variabili, si ha una IDENTITA’.
Le equazioni possono essere ad una o più incognite; inoltre si dicono: di primo, secondo, terzo, … grado ad una incognita quando l’incognita compare con grado massimo 1, 2, 3, ………. ‘
EQUAZIONI IN BREVE : EQUAZIONI LINEARI
Un’equazione algebrica in una sola variabile x assume la forma
a(x) = b(x)
dove a(x) e b(x) sono espressioni algebriche nella variabile x.
L’espressione a sinistra del simbolo uguale si dice primo membro, quella alla destra secondo membro.
Una equazione di primo grado si dice scritta in FORMA NORMALE quando si presenta nella forma:
a · x =b con a. b ∊ R e a ≠0
La variabile x si dice anche INCOGNITA e i termini presenti nelle espressioni a(x) e b(x) che non contengono l’incognita sono i TERMINI NOTI dell’equazione.
I valori delle incognite che trasformano l’equazione in un’uguaglianza vera sono le SOLUZIONI o RADICI dell’equazione.
Il loro valore va ricercato nell’insieme di definizione o dominio o campo di esistenza dell’equazione.
RICORDA: Il dominio è l’insieme dei valori che può assumere la x, tali che l’espressione algebrica presente nell’equazione non perda di significato. Per esempio se
a(x) = 1/x,
l’espressione è definita per i valori di x tali che x ≠ 0, valore che annulla il denominatore della frazione.
EQUAZIONI IN BREVE : RISOLVERE UN’EQUAZIONE
Come sappiamo, risolvere un’equazione significa trovare l’insieme delle soluzioni dell’equazione, indicato di solito con S, che è un sottoinsieme del dominio.
Nella risoluzione di un equazione a un’incognita si possono avere i seguenti casi:
- determinata: se l’insieme delle soluzioni è finito e non vuoto;
- indeterminata: se l’insieme delle soluzioni è infinito;
- impossibile: se l’insieme delle soluzioni è l’insieme vuoto.
Due o più equazioni di primo grado si dicono EQUIVALENTI quando hanno la stessa soluzione
EQUAZIONI EQUIVALENTI E PRINCIPI DI EQUIVALENZA
Due equazioni sono equivalenti se hanno lo stesso insieme delle soluzioni.
Perché due equazioni siano equivalenti è necessario che tutte le soluzioni della prima equazione verifichino anche la seconda e viceversa.
Per risolvere un’equazione è opportuno trasformarla, applicando le regole del calcolo letterale, in una più semplice ad essa equivalente. Le possibili trasformazioni sono regolate dai principi di equivalenza.
PRIMO PRINCIPIO
Addizionando a entrambi i membri lo stesso numero o la stessa espressione algebrica, con lo stesso dominio dell’equazione, si ottiene una equazione equivalente a quella data.
SECONDO PRINCIPIO
Moltiplicando entrambi i membri di un’equazione per lo stesso numero, diverso da zero, o la stessa espressione algebrica con lo stesso dominio dell’equazione, e tale che non si annulli in quel dominio, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.
I principi di equivalenza ci consentono di svolgere alcune semplici operazioni, che ci permettono di ricondurre qualsiasi equazione in forma normale e quindi di cercarne le soluzioni (regole pratiche)
In particolare ci permettono di
- portare un termine da un membro all’altro cambiando il segno. In questo modo possiamo trasportare tutti i termini ad un unico membro, ponendo l’altro uguale a zero;
- eliminare due termini UGUALI che si trovano uno al primo e uno al secondo membro;
- eliminare due termini OPPOSTI presenti nello stesso membro;
- moltiplicare o dividere tutti i termini per un medesimo fattore non nullo;
Inoltre, se i coefficienti numerici sono frazionari, grazie ai principi di equivalenza possiamo MOLTIPLICARE TUTTI I TERMINI PER IL MINIMO COMUNE MULTIPLO (M.C.M.) DEI LORO DENOMINATORI.
EQUAZIONI IN BREVE : le EQUAZIONI LINEARI
Come dicevamo poco sopra, un’equazione in forma normale si presenta nella forma a(x) = 0, dove a(x) è un polinomio.
Sappiamo poi che il grado di un’equazione scritta in forma normale, è il grado del polinomio a(x).
Un’equazione lineare in un’incognita (o equazione di primo grado) è l’equazione che può essere ridotta nella forma:
ax + b = 0
dove x è l’incognita, a e b sono numeri reali. In base ai valori che assumono i coefficienti a e b si possono presentare tre casi.
- a ≠ 0 : Possiamo dividere entrambi i membri per a: x = –b/a ⇨ L’equazione è determinata e la soluzione è
x = –b/a
- a = 0 e b ≠ 0 : L’equazione diventa:
0 · x = –b
⇨ L’equazione è impossibile, poiché l’insieme delle soluzioni è vuoto.
- a = 0 e b = 0 : L’equazione diventa:
0 · x = 0
⇨ L’equazione è indeterminata, poiché ammette come soluzione qualsiasi numero reale
RIDURRE UN’EQUAZIONE LINEARE IN FORMA NORMALE
EQUAZIONI IN BREVE : EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
Un’equazione di secondo grado o quadratica in un’incognita ha forma normale:
ax² + bx + c = 0
dove a, b, c sono numeri reali e a ≠ 0. Le soluzioni dell’equazione di secondo grado sono:
dove b² – 4ac = Δ è detto determinante.
A seconda del valore che assume il determinante si possono avere tre casi. L’equazione è:
- determinata se Δ = b² – 4ac > 0 : ammette due soluzioni reali e distinte;
- indeterminata se Δ = b² – 4ac = 0 ammette due soluzioni reali coincidenti;
- impossibile se Δ = b² – 4ac < 0 non ammette alcuna soluzione reale.
RELAZIONI TRA COEFFICIENTI E RADICI.
Fra i coefficienti di un’equazione di secondo grado in forma normale
ax2 + bx + c = 0
e le sue soluzioni x1 e x2 esistono le seguenti relazioni:
EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO
Le equazioni di grado superiore al secondo sono equazioni che presentano polinomi con l’incognita di grado maggiore di 2.
LE EQUAZIONI AMMETTONO UN NUMERO DI SOLUZIONI UGUALI AL LORO GRADO
Questo significa che le equazioni di grado superiore al secondo hanno un numero di soluzioni maggiore di 2.
Non è detto che tutte le radici siano reali e distinte, possono essere coincidenti o non reali (complesse).
Non esiste una procedura univoca o una formula per risolvere questo tipo di equazioni.
Poiché sappiamo risolvere solo equazioni di secondo grado, per trovare le soluzioni di queste equazioni è necessario riscrivere i polinomi di grado n, come prodotti di polinomi di primo e secondo grado.
Applicando la legge di annullamento del prodotto, si pone ciascun binomio o trinomio della scomposizione e si determinano le radici.
OVVIAMENTE NON SEMPRE È POSSIBILE SCOMPORRE I POLINOMI DATI
EQUAZIONI IN BREVE : EQUAZIONI FRAZIONARIE
In un’equazione frazionaria (o fratta) l’incognita si trova anche al denominatore.
Nel risolvere equazioni di questo tipo è necessario escludere dal dominio dell’equazione quei valori che annullano il denominatore, rendendo priva di significato l’equazione stessa
Ne torneremo presto a parlare molto approfonditamente
EQUAZIONI IN BREVE: EQUAZIONI LETTERALI
Le equazioni letterali sono equazioni in cui compaiono più lettere di cui una viene scelta come incognita, mentre le altre rappresentano i coefficienti letterali, detti parametri, che sono valori reali costanti.
Le soluzioni dell’equazione dipendono dal valore che assumono i coefficienti letterali dell’incognita. La risoluzione prende il nome di discussione in quanto è necessario discutere i valori che assumono i parametri per determinare l’insieme delle soluzioni.
Ad esempio, vogliamo stabilire per quale valore di k è determinata l’equazione
kx + 6 = k + 2x + 6
Applicando i principi di equivalenza si trova l’equazione equivalente:
kx – 2x = k → x (k – 2) = k
da cui si ricava
x = k / (k-2)
Perché la frazione abbia significato deve avere il denominatore diverso da zero, quindi anche in questo caso occorre determinare le condizioni di esistenza (in questo caso riferite al parametro e non alla variabile dell’equazione):
k – 2 ≠ 0 → k ≠ 2.
Per tutti gli altri valori di k l’equazione è determinata.
Anche di queste equazioni torneremo presto a parlare molto nel dettaglio
EQUAZIONI IN BREVE : EQUAZIONI ESPONENZIALI
Un’equazione è esponenziale quando l’incognita è presente soltanto nell’esponente di una o più potenze. L’equazione esponenziale più semplice è del tipo
ax = b con a > 0
Poiché per a > 0, si ha sempre che ax > 0 e possiamo distinguere i seguenti casi:
⇒ L’equazione è impossibile:
- per b ≤ 0, perché come già detto ax è sempre > 0 per a > 0;
- per a = 1 e b ≠ 1, perché 1x è sempre uguale a 1 per qualsiasi valore di x.
⇒ L’equazione è indeterminata:
- per a = 1 e b = 1, perché l’espressione 1x = 1 è un’identità.
⇒ L’equazione è determinata:
- per a ≠ 1 e b > 0; in questo caso l’equazione ha una e una sola soluzione, data da x = loga(b).
È possibile determinare la soluzione di un’equazione esponenziale, se esiste, se è possibile riscrivere l’equazione ax = b, in modo che in entrambi i membri compaia una potenza della stessa base, infatti due potenze sono uguali se sono uguali i lori esponenti:
a f(x) = a g(x)
Un’equazione di questo tipo si risolve ponendo: f(x) = g(x)
Quando non è possibile uguagliare le basi, le equazioni si risolvono ricorrendo ai logaritmi.
Nel pdf allegato trovate qualche esempio. Torneremo presto a parlarne
EQUAZIONI LOGARITMICHE
Un’equazione logaritmica è un’equazione in cui l’incognita compare nell’argomento di uno o più logaritmi. Prima di determinare le soluzioni dell’equazione logaritmica è necessario definire le condizioni di esistenza per ogni argomento del logaritmo, che deve essere sempre maggiore di zero.
Successivamente, utilizzando le proprietà dei logaritmi si riconduce l’equazione alla forma:
log A(x) = log B(x)
Poiché due logaritmi nella stessa base sono uguali se è uguale il loro argomento, si deduce che
log A(x) = log B(x) → A(x) = B(x)
Le soluzioni di quest’ultima equazione sono le soluzioni dell’equazione logaritmica.
L’equazione logaritmica si può presentare anche nella forma:
loga A(x) = k
Un’equazione di questo tipo nella forma più semplice è loga x = k la cui soluzione è immediata perché è sufficiente applicare la definizione di logaritmo. Se infatti la soluzione esiste, questa è x = ak.
Nel pdf trovate qualche esempio, ma potete approfondire l’argomento anche qui
EQUAZIONI IN BREVE : EQUAZIONI ESPONENZIALI RISOLVIBILI CON I LOGARITMI
In alcuni casi le equazioni esponenziali possono essere risolte utilizzando i logaritmi. In questo caso si utilizzano le espressioni dei membri dell’equazione come se fossero gli argomenti di due logaritmi nella stessa base. L’equazione si risolve uguagliando fra loro i logaritmi.
Questa operazione è detta “passaggio ai logaritmi”. La scelta della base dei logaritmi è arbitraria, ma per comodità di calcolo è preferibile sceglierli a base naturale o decimale.
Ne riparleremo presto
PROBLEMI RISOLUBILI CON UN’EQUAZIONE
Alcuni comuni problemi possono essere risolti ricorrendo alle equazioni. Il testo del problema, espresso in linguaggio naturale, deve essere tradotto in un’equazione utilizzando il linguaggio simbolico della matematica. La soluzione dell’equazione trovata, detta equazione risolvente, se esiste, è la soluzione del problema.
È quindi importante familiarizzare con il meccanismo di traduzione dal linguaggio naturale in cui i problemi vengono espressi al linguaggio matematico formale, e viceversa.
A questo argomento dedicheremo parecchio tempo, con tanti esercizi svolti.