CALCOLO della radice quadrata
Vediamo come possiamo calcolare la radice quadrata di un numero qualsiasi. Esiste infatti un algoritmo che ci consente di ricavare questo valore se non disponiamo di calcolatrici o tavole numeriche!
Ovviamente è probabile che nella vita non vi capiterà mai di dover estrarre una radice quadrata ma ai miei tempi non potevamo usare calcolatrici durante le ore di matematica e, se il numero non compariva sulle tavole numeriche, allora erano dolori!
Per questo ancora oggi vi fanno studiare questo algoritmo, che si deve al geniale ingegnere italiano Rafael Bombelli
In realtà esistono diversi metodi per il calcolo delle radici quadrate. Il più usato è quello di Rafael Bombelli.
il pdf della lezione
algoritmo radice quadrata
CALCOLO della radice quadrata : esempio 1
Vediamo insieme come funziona con un esempio. Supponiamo di voler calcolare
√636815
Come prima cosa dividiamo il numero in gruppi di 2 cifre partendo dalle unità (da destra):
63.68.15
1) Troviamo la radice del quadrato perfetto più vicino alla coppia più a sinistra. In questo caso si tratta del numero 63.
il quadrato perfetto più vicino a 63 è 7×7=49 ( INFATTI 8 ∘ 8 = 64 è troppo grande)
Mettiamo il 7 da parte: sarà la cifra più grande del risultato.
2) A questo punto ricominciamo consideriamo il numero formato dalla differenza tra 63 e 49 affiancato dalla seconda coppia di numeri:
63−49=14
Il nuovo numero sarà
14. 68
Raddoppiamo ora il 7, ottenendo 14. Dobbiamo trovare la cifra C più grande tale che affiancata a 7 x 2 = 14 moltiplicata per C :
14C×C
si avvicina di più, ma non supera 1468. Tale cifra C è 9. infatti
149×9=1341
Mettiamo il 9 vicino al 7 : sarà la seconda cifra più grande del risultato.
3) A questo punto ripetiamo gli stessi passaggi compiuti in precedenza, calcolando la differenza
1468−1341=127
Abbassiamo poi la successiva coppia di cifre ed otteniamo
127 15
Di nuovo, dobbiamo trovare la cifra C più grande, che affiancata al doppio del nostro risultato parziale, cioè 79 x 2 = 158 e moltiplicato per C :
158C× C
si avvicina di più, ma non supera 12715. Tale cifra è C = 8. Risulta infatti :
1588×8=12704
Mettiamo 8 da parte: sarà la terza cifra più grande del risultato.
A questo punto abbiamo finito perché la differenza tra
12715 – 12704 = 11
è MINORE di 798 e non abbiamo un’altra coppia da affiancare.
CALCOLO della radice quadrata : Esempio 2
Vogliamo trovare la radice di 53351.
Dividiamo innanzitutto il numero in gruppi di due cifre, partendo da DESTRA. Otteniamo:
Calcoliamo la radice quadrata del primo gruppo. In altre parole, determiniamo la radice del quadrato perfetto più vicino alla coppia più a sinistra, ovvero del 5. il quadrato perfetto più vicino a 5 è 4 e la sua radice quadrata è 2. Mettiamo da parte il 2 :
Eleviamo il numero trovato, cioè 2, alla seconda e mettiamo il risultato ottenuto sotto la prima cifra. Sottraiamo poi i valori trovati. In questo caso:
5-4 = 1
“Abbassiamo” la coppia successiva e otteniamo
133
Moltiplichiamo per 2 il valore della prima cifra della radice. Otteniamo
2 x 2 = 4
Dobbiamo ora determinare la cifra C che affiancata a 4 e moltiplicata per il numero ottenuto ci dia un numero minore o uguale di 133. Siccome 13 : 4 = 3, proviamo con il 3. Otteniamo
43 x 3 = 129 < 133
NOTA : se nell’effettuare la divisione si ottiene un numero maggiore di nove, la cifra C assume sempre il valore 9
Mettiamo il 3 accanto al 2 ed effettuiamo la sottrazione:
Abbassiamo ora l’ultimo gruppo di cifre, ottenendo 451. Raddoppiamo il 23, ottenendo 46. Dobbiamo ora trovare la cifra C tale che
46C x C = numero < 451
Risulta C = 0, per cui la terza cifra della radice è 0
CALCOLO della radice quadrata : approssimazione allo 0,1
A questo punto possiamo arrestarci oppure proseguire con le cifre decimali. Ci basta aggiungere una COPPIA DI ZERI al resto (451).
Otteniamo 45100. Proseguiamo ora come in precedenza.
Raddoppiando 230 otteniamo 460. Dividiamo 4510 per 460 e troviamo la cifra C tale che
460C x C = numero < 45100
Otteniamo che tale cifra è 9. Abbiamo quindi la prima cifra decimale.
Risulta quindi:
CALCOLO della radice quadrata : approssimazione allo 0,01
Se vogliamo una seconda cifra decimale, aggiungiamo DUE ZERI al resto e proseguiamo come prima. Quando raddoppiamo, dobbiamo considerare il numero senza la virgola.
Otteniamo cioè 2309 x 2 = 4618 :
Con due cifre decimali, quindi, la radice è
CALCOLO della radice quadrata : approssimazioni successive
Insomma, per avere altre cifre decimali ci basta aggiungere ogni volta UNA COPPIA DI ZERI!