Dopo aver visto insieme come si scrive l’equazione di una retta passante per l’origine, oggi ci occuperemo del caso generale e vedremo come si esprime da un punto di vista matematico la relazione di linearità.
Faremo tanti esercizi sull’argomento, ve lo dico subito, anche perché mi diverto davvero tanto a risolvere esercizi e problemi! Quindi non fatevi scrupoli se avete bisogno…
EQUAZIONE GENERALE DELLA RETTA: LA SUA FORMA
Un’equazione di PRIMO GRADO nelle variabili x e y rappresenta sempre una retta del piano cartesiano.
Può assumere due forme : implicita ed esplicita.
⇒ FORMA IMPLICITA
Nella forma implicita l’equazione è uguagliata a ZERO
ax + by + c = 0
dove a,b,c sono tre numeri qualsiasi
⇒ FORMA ESPLICITA
Nella forma esplicita ricaviamo la y in funzione della x (si dice che esplicitiamo la variabile dipendente in funzione di quella indipendente)
y = mx + q
con
- m = coefficiente angolare
- q = ordinata all’origine o intercetta con l’asse y
Vedremo meglio il loro significato in seguito.
⇒ DALLA FORMA IMPLICITA A QUELLA ESPLICITA
Possiamo PASSARE FACILMENTE DALLA FORMA IMPLICITA A QUELLA ESPLICITA (e viceversa).
Vediamo come comportarci nelle due situazioni
1) DALLA FORMA IMPLICITA A QUELLA ESPLICITA
Per trasformare l’equazione implicita in quella esplicita, lasciamo a sinistra del segno di uguaglianza solo il termine con la y e portiamo a destra ax e c, cambiando di segno:
by = -ax – c
Dividendo tutto per b otteniamo:
Ponendo :
otteniamo:
y = mx + q
ovvero l’equazione in forma esplicita.
Il coefficiente angolare m ci dice quale angolo la retta forma con l’asse delle x. Se è negativo, significa che l’angolo è OTTUSO
L’ordinata all’origine q ci dice in quale punto la retta in esame incontra l’asse delle y
In pratica, per passare dalla forma implicita alla forma esplicita ci basta portare a destra dell’uguale tutti i termini che non contengono la y, cambiandoli di segno. Dividiamo tutto per eventuali fattori che moltiplicano la y e abbiamo la forma esplicita
2) DALLA FORMA ESPLICITA A QUELLA IMPLICITA
Se vogliamo passare dalla forma esplicita a quella implicita, ci basta portare a sinistra del segno di uguaglianza tutti i termini. Otteniamo così l’equazione implicita:
– mx + y –q= 0
EQUAZIONE GENERALE DELLA RETTA
⇒ Retta parallela all’asse x : equazione
- FORMA IMPLICITA : y – k = 0
- FORMA ESPLICITA : y = k
RICORDA :
y = 0
è L’EQUAZIONE DELL’ASSE x
⇒ RETTA PARALLELA ALL’ASSE Y : EQUAZIONE
FORMA IMPLICITA : x – h = 0
FORMA ESPLICITA : x = h
RICORDA :
x = 0
è L’EQUAZIONE DELL’ASSE y
EQUAZIONE GENERALE DELLA RETTA : RETTA PASSANTE PER L’ORIGINE
Vediamo che anche una retta per l’origine ha equazione che si ricava da quella generale.
Se q = 0, l’equazione
y = mx + q
diventa
y = mx
che è appunto l’equazione di una retta passante per l’origine.
CASI PARTICOLARI
Se m = 1, q= 0 i punti della retta hanno l’ascissa uguale all’ordinata è y = x equazione della bisettrice del I e III quadrante.
Se m = – 1, q= 0 i punti della retta hanno l’ascissa uguale ed opposta all’ordinata è y = – x equazione della bisettrice del II e IV quadrante.
Domani vedremo insieme come affrontare alcuni problemi riguardanti le equazioni delle rette