FIGURE SIMILI E CRITERI DI SIMILITUDINE
Oggi affrontiamo un argomento già noto, quello delle figure simili. L’esperienza ci insegna che due oggetti sono “simili” se hanno la stessa forma.
due oggetti sono simili quando si «assomigliano»
Così diciamo simili due cani della stessa razza, i fiori della stessa pianta, gli abiti dello stesso modello…
In matematica, invece, il termine «simili» ha un significato ben preciso, ovvero due figure sono simili se hanno la stessa forma anche se con diversa grandezza. Ad esempio sono simili due disegni ingranditi o rimpiccioliti di uno stesso oggetto, carte geografiche in scale differenti, …
Vediamo come rispondere al prof che ci chiede che cosa significa che due figure sono simili
FIGURE SIMILI E CRITERI DI SIMILITUDINE. La similitudine
La similitudine è una trasformazione non isometrica che trasforma una figura nella sua immagine. Quindi due figure che hanno la stessa forma ma non la stessa estensione sono dette simili.
Più precisamente:
Due figure sono simili quando segmenti che congiungono coppie di punti corrispondenti sono nello stesso rapporto
FIGURE SIMILI E CRITERI DI SIMILITUDINE. Poligoni simili
Def: Due poligoni si dicono simili quando soddisfano due condizioni:
- tutti i loro angoli corrispondenti sono congruenti,
- i lati corrispondenti sono in rapporto costante.
Consideriamo le due figure
Notiamo che:
AB : A’B’ = BC : B’C’ = CD : C’D’ = DA : D’A’
NOTA : Se invece è soddisfatta una sola delle due condizioni, le figure non sono simili
Osserviamo i due poligoni A ed A’: i lati sono in rapporto costante, ma gli angoli corrispondenti non sono congruenti. I due poligoni non sono simili.
Consideriamo questa seconda condizione:
Osserviamo i due poligoni B e B’: gli angoli corrispondenti sono congruenti ma i lati corrispondenti non sono in rapporto costante. I due poligoni NON sono simili
FIGURE SIMILI E CRITERI DI SIMILITUDINE. I triangoli
Per quanto riguarda i triangoli esistono DUE criteri di similitudine, per riconoscere se due triangoli sono simili.
PRIMO CRITERIO DI SIMILITUDINE PER I TRIANGOLI
Due triangoli sono simili se hanno tutti e tre gli angoli ordinatamente congruenti.
Nel caso in figura:
e quindi i due triangoli sono simili.
SECONDO CRITERIO DI SIMILITUDINE PER I TRIANGOLI
Def: Due triangoli sono simili se hanno le tre coppie di lati omologhi (opposti agli angoli congruenti) in proporzione costante.
Nel caso in figura: BC : EF = AB : DE = AC : DF (infatti il rapporto è sempre 1,25) I due triangoli sono simili.
Svolgendo gli esercizi, imparerete inoltre che
- il RAPPORTO tre i PERIMETRI di due poligoni simili è UGUALE al RAPPORTO DI SIMILITUDINE
- il RAPPORTO tra le AREEdi due poligoni simili è uguale al QUADRATO del RAPPORTO DI SIMILITUDINE
FIGURE SIMILI E CRITERI DI SIMILITUDINE: Esempi
Risolviamo insieme alcuni esercizi, per comprendere come “funzionano” i criteri di similitudine
ESEMPIO 1:
I lati AB, BC, AC di un triangolo ABC sono lunghi rispettivamente 15 cm, 22 cm e 30 cm. I lati corrispondenti di un triangolo A’B’C’ sono rispettivamente 22,5 cm, 33 cm e 45 cm. Stabilisci se e, in caso affermativo, per quale criterio di similitudine i triangoli sono simili.
Vale il SECONDO CRITERIO DI SIMILITUDINE: Due triangoli sono simili se hanno le tre coppie di lati omologhi (opposti agli angoli congruenti) in proporzione costante.
Nel caso in figura: AB : A’B’ = BC : B’C’ = AC : A’C’
Infatti:
15 : 22,5 = 22 : 33 = 30 : 45 = 0,66
ESEMPIO 2
Due lati corrispondenti di due triangoli simili sono lunghi rispettivamente 30 cm e 15 cm. In che rapporto stanno tra di loro i perimetri e le aree dei due triangoli simili.
Siccome i due triangoli sono simili, anche tra gli altri lati deve esistere lo stesso rapporto
30 : 15 = 2
Questo significa che ogni lato del primo triangolo sarà il doppio di quelli del secondo.
Anche il perimetro sarà quindi il doppio mentre l’area sarà il quadruplo:
P = 2P’
A = 4A’
Prendiamo per esempio due triangoli rettangoli, con i lati come indicato in figura.
Calcolo il perimetro dei due triangoli e la loro area:
P = 30 + 40 +50 = 120 cm
P’ = 15 + 20 + 25 = 60 cm
quindi anche P: P’ = 2
Per le aree:
A = 30 x 40 = 1200 cm2
A’ = 15 x 20 = 300 cm2
ovvero le aree stanno tra loro come il rapporto tra i lati al quadrato:
A : A’ = 1200 :300 = 4 = 22
ESEMPIO 3
Un triangolo ha i lati che misurano 12 cm, 9 cm e 18 cm. Calcola il perimetro di un triangolo simile che ha il lato corrispondente al primo lato del primo triangolo pari a 18 cm.
Calcolo il rapporto tra i lati :
18 : 12 = 1,5
Quindi calcolo il perimetro del primo triangolo e moltiplico il valore ottenuto per questo valore. Infatti tra i perimetri di due triangoli simili esiste lo stesso rapporto presente tra i lati:
P’ = (12 + 9 + 18) x 1,5 = 39 x 1,5 = 58,5 cm
(Verifico che il risultato sia giusto, calcolando i lati del secondo triangolo. I suoi lati saranno
9 x 1,5 = 13,5 cm
18 x 1,5 = 27 cm
P’ = 13,5 +18 +27 = 58,5 cm)
ESEMPIO 4
Un triangolo ha i lati che misurano 7,85 cm, 10,6 cm e 13,25 cm. Calcola il perimetro di un triangolo simile che ha il lato corrispondente al terzo lato del primo triangolo pari a 18,55 cm.
Come prima, calcolo il rapporto esistente tra i lati noti:
18,55 : 13,25 = 1,4
Tra i perimetri esiste lo stesso rapporto, per cui mi basta calcolare il perimetro del primo triangolo e moltiplicare il valore ottenuto per 1,4
P’ = (7,85 + 10,6 + 13,25) x 1,4 = 31,7 x 1,4 = 44,38 cm
Con i lati :
10,6 x 1,4 = 14,84 cm
7,85 x 1,4 = 10,99 cm
P’ = 14,84 + 10,99 +18,55 = 44,38 cm
ESEMPIO 5
Un triangolo ABC ha il lato AB pari a 14 cm, il lato BC pari a 18 cm e il lato CA pari a 28 cm. Calcola l’area e il perimetro di un triangolo simile che ha il lato corrispondente al lato AB del primo triangolo pari a 7 cm.
Come prima, calcolo il rapporto tra i lati:
14 : 7 = 2
quindi calcolo il perimetro
P’ = (14 + 18 + 28) x 2 = 60 x 2 = 120 cm
Per calcolare l’area, applico la formula di Erone
Con i valori numerici dati:
L’area del secondo triangolo sarà il quadruplo :
A’ = 30 x 4 = 120
FIGURE SIMILI E CRITERI DI SIMILITUDINE: per esercitarvi
Vi allego il pdf con esercizi svolti sulle figure simili ho trovato gli esercizi QUI)
FIGURE SIMILI ESERCIZI
Vi allego inoltre il pdf con gli esercizi sui triangoli simili