Siamo ormai a buon punto con la conoscenza delle frazioni, sia che cominciamo a studiarle ora che le stiamo affrontando nuovamente in prima media.
Vediamo insieme alcuni dei problemi che può essere necessario risolvere quando abbiamo a che fare con le frazioni. Torneremo poi a parlarne meglio per i ragazzi più grandi
PROBLEMI CON LE FRAZIONI: diretti o inversi
Due sono i casi tipici che ci si presentano:
- dato l’intero, trovare la sua parte (problema diretto)
- noto il valore della frazione, calcolare il valore dell’intero (problema inverso)
Cominciamo con il caso più semplice
PROBLEMI CON LE FRAZIONI. PROBLEMA DIRETTO
Per risolvere i problemi diretti con le frazioni, procediamo :
- dividendo l’intero per il denominatore della frazione e moltiplicando poi per il numeratore,
- oppure, prima moltiplichiamo l’intero per il numeratore e poi dividiamo il risultato ottenuto per il denominatore.
Supponiamo di avere nel nostro portafogli 100 €. Ne spendiamo i 2/5, quanto abbiamo speso?
Ci basta procedere in uno dei due modi visti sopra:
⇒ dividiamo i 100 € per 5 e poi moltiplichiamo il risultato per 2 :
(100 : 5 ) x 2 = 20 x 2 = 40 €
Abbiamo quindi speso 40 €. In tasca ci restano (100 – 40) = 60 €
⇒ Moltiplichiamo l’intero per 2 e poi dividiamo il risultato ottenuto per 5:
(100 x 2) : 5 = 200 : 5 = 40 €
ESEMPIO 2
Un negoziante ha acquistato 500 vasetti di marmellata e ne ha venduti i 4/5. Quanti vasetti di marmellata gli sono rimasti?
Calcoliamo prima quanti ne ha venduti:
(500 : 5 ) x 4 = 400
Gli restano quindi
500 -400 = 100 vasetti.
Potevamo anche calcolare direttamente i vasetti venduti. Infatti se ne ha venduti i 4/5, a lui resta la frazione complementare, pari a 1/5. Quindi
(500 : 5) x 1 = 100 vasetti
PROBLEMI CON LE FRAZIONI. PROBLEMA INVERSO
Per calcolare il valore dell’intero (u) conoscendo quanto vale (a) una parte frazionaria ( n/d) dobbiamo
- dividere la misura (a) per il numeratore (n) e moltiplicare il quoziente per il denominatore (d)
u = ( a: n ) × d
oppure
- moltiplicare il valore della frazione (a) per il denominatore (d) e dividere poi il prodotto ottenuto per il numeratore (n).
u =( a × d) : n
Per i più grandi: vi basta moltiplicare il valore della parte per la frazione inversa.
ESEMPIO:
sappiamo che i 3/4 di un palazzo misurano 24 m e vogliamo sapere quanto è alto tutto il palazzo. Ci troviamo proprio nella situazione del problema inverso. Conosciamo infatti il valore della parte e dobbiamo calcolare l’intero.
Ci basta dividere i 24 m per il numeratore (3) e poi moltiplicare il risultato ottenuto per il denominatore (4):
(24 : 3 ) x 4 = 8 x 4 = 32 m
Tutto il palazzo è quindi alto 32 m.
PROBLEMI CON LE FRAZIONI. Problemi DIRETTI
Vi propongo una serie di esercizi da svolgere per allenarvi con quanto visto sopra.
ESERCIZIO 1
Un segmento AB è i 5 /7 di un altro segmento CD, lungo 28 cm. Quanto misura AB? [20 cm]
ESERCIZIO 2
Il corpo umano è formato per circa i 7/10 da acqua. Se una persona pesa 50 Kg, qual è il peso dell’acqua nel suo corpo? [35 kg]
ESERCIZIO 3
Alla nascita, io pesavo 1/18 del peso della mia mamma. Sapendo che mamma pesava 54 kg, quanto pesavo io? [3 kg]
ESERCIZIO 4
Il peso di Andrea è i 5 /4 di quello di Sara, che pesa 48 kg. Calcolare il peso di Andrea [60 kg]
ESERCIZIO 5
Un rivenditore di auto usate vende un’auto a 3600 €. Il suo guadagno corrisponde ai 4/15 dell’incasso. Quanto è il guadagno in euro del rivenditore? [960 €]
ESERCIZIO 6
Carla ha guadagnato 810 €. Dopo tre settimane ne ha speso un terzo. Quanto ha speso? Quanto le è rimasto? [270 €, 540 €]
ESERCIZIO 7
Un automobilista deve effettuare un tragitto di 630 km. Dopo averne percorso i 3/7, quanti chilometri gli rimangono da percorrere? [360 km]
PROBLEMI CON LE FRAZIONI. Problemi inversi
ESERCIZIO 1
Un’Agenzia Immobiliare ha guadagnato 7 500 € dalla vendita di una casa. Calcola a quale prezzo è stata venduta la casa sapendo che il guadagno dell’Agenzia è uguale ai 𝟑/𝟏𝟎𝟎 del prezzo di vendita. [250000 €]
ESERCIZIO 2
I 2/ 3 di un grattacielo corrispondono a 90 m di altezza. Calcola l’altezza del grattacielo. [135 m]
ESERCIZIO 3
I 3/5 di un segmento sono lunghi 18 cm. Qual è la lunghezza dell’intero segmento? [30 cm]
ESERCIZIO 4
Per riempire i 3/ 5 di un recipiente bisogna versarvi 15 litri. Qual è la capacità totale del recipiente? [25 l]
ESERCIZIO 5
Un automobilista ha percorso 630 km, pari ai 𝟕/𝟏𝟐 del viaggio che deve fare. Quanti chilometri è lungo l’intero viaggio? [1080 km]
ESERCIZIO 6
Calcola quanti litri di vino può contenere una botte, sapendo che ne sono stati tolti 60 litri e che essi corrispondono ai 3 / 5 della capacità della botte [100 l]
PROBLEMI CON LE FRAZIONI. Diretti e inversi
ESERCIZIO 1
Calcola qual è la capacità di un bidone sapendo che per riempirne 𝟏/𝟑 occorre versare 50 litri. [150 l]
ESERCIZIO 2
Un otre riempito per 1/8 contiene 20 litri di olio. Quanto olio conterrà quando sarà riempito per 2/5 ?
(Suggerimento: calcola prima l’intero e poi la sua parte…) [64 l]
ESERCIZIO 3
Dalia guadagna 350 € alla settimana. Spende i 𝟐/𝟕 del suo stipendio per il vitto, 𝟏/𝟒 per l’alloggio, 3/ 10 li riserva al risparmio e il resto lo spende in spese varie. Quanto danaro risparmia ogni settimana? [105 €]
ESERCIZIO 4
Calcola il peso lordo di un barile di petrolio sapendo che il suo peso netto quando è riempito per 𝟐/𝟕 è di 40 kg e che la tara è di 8 kg.
ESERCIZIO 5
La mamma di Carlo ha acquistato una scatola di 12 ghiaccioli. I 2/3 dei ghiaccioli sono al limone. Quanti sono i ghiaccioli al limone? [8]
ESERCIZIO 6
Giada ha 63 perle colorate; ne regala i 3/7 alla sua amica Daphne. Quante perle riceve Daphne?. Quante perle rimangono a Gianna? [27; 36]
ESERCIZIO 7
Il fruttivendolo si accorge che i 2/5 dei 15 kg di fragole sono avariati. Quanti chili di frutta deve eliminare? Quanti chili dei frutta può vendere?[6 kg; 9 kg]
ESERCIZIO 8
Sandro possedeva € 72. Ha speso i 5/9 della somma per acquistare 4 magliette uguali. Quanto ha speso? Quanto costa ogni maglietta? Quanto denaro gli è rimasto? [40 €; 10 €; 32 €]
ESERCIZIO 9
Un fruttivendolo sistema 200 pesche in cestini che contengono 8 pesche ciascuno. Quanti cestini gli occorrono? Al termine della giornata ha venduto i 17/25 dei cestini. Quanti cestini ha venduto? Quanti cestini gli sono rimasti? [25; ….]