PROPORZIONI definizioni e proprietà
Dopo aver definito che cosa si intende per RAPPORTO tra due numeri, introduciamo il concetto di “PROPORZIONE” e vediamo le proprietà di cui gode.
Per inciso: le proporzioni sono FONDAMENTALI nella vita!
Infatti è grazie ad esse che possiamo “adattare” le ricette a dosi diverse da quelle che ci vengono date. Solitamente infatti sono indicate le dosi per 4 persone. E se io devo cucinare per 7 persone??? Basta impostare una proporzione!
Altri esempi pratici? Potrete calcolare quanti giorni lavorare per “mettere da parte” una certa somma, verificare che il cambio di valuta sia corretto, quanto tempo impieghereste per raggiungere una certa località ad una data velocità… insomma, vi garantisco che vi aiuteranno parecchio!
PROPORZIONI definizioni e proprietà. Definizione
Una proporzione è UN ‘UGUAGLIANZA TRA DUE RAPPORTI
Come abbiamo visto in precedenza, due rapporti che hanno lo stesso valore si dicono UGUALI. Per esempio 15 : 5 = 3. Lo stesso valore è anche di 18: 6 .
Possiamo scrivere questa affermazione come :
15 : 5 = 18 : 6
Abbiamo scritto una PROPORZIONE!
Tale relazione si legge:
15 sta a 5 COME 18 sta a 6
I numeri si chiamano TERMINI della proporzione. In particolare:
- il PRIMO E IL QUARTO TERMINE si dicono ESTREMI della proporzione
- il SECONDO E IL TERZO TERMINE si dicono MEDI della proporzione
Inoltre :
- il PRIMO E IL TERZO TERMINE si dicono ANTECEDENTI della proporzione
- il SECONDO E IL QUARTO TERMINE si dicono CONSEGUENTI della proporzione
PROPORZIONI CONTINUE
Si dice CONTINUA una proporzione in cui i medi sono uguali :
a: b= b: c
In una proporzione continua:
- a , b, c sono i termini della proporzione
- a, c sono gli estremi
- b è detto medio proporzionale
- c è detto terzo proporzionale
PROPORZIONI definizioni e proprietà. PROPRIETÀ
Le PROPORZIONI godono delle seguenti PROPRIETÀ:
- proprietà FONDAMENTALE delle proporzioni;
- proprietà del PERMUTARE;
- proprietà dell’INVERTIRE;
- proprietà del COMPORRE;
- proprietà dello SCOMPORRE.
Oggi vi enuncio solo la prima e poi, nelle prossime lezioni, le riprenderemo e svolgeremo insieme esempi ed esercizi
PROPRIETÀ FONDAMENTALE DELLE PROPORZIONI
in ogni proporzione, il PRODOTTO dei MEDI è UGUALE al PRODOTTO degli ESTREMI.
OVVERO :
a * d = b * c
Verifichiamo con un esempio.
Consideriamo la proporzione
4: 2= 14 : 7
Sotto forma di frazione :
4/ 2 =14/7
Per confrontare due frazioni, dobbiamo ridurle allo stesso denominatore. Dobbiamo cioè calcolare il minimo comune multiplo, in questo caso 14 e poi eseguire i calcoli
Poiché le frazioni hanno il denominatore uguale, esse saranno uguali solamente se sono uguali anche i numeratori. Pertanto dovrà essere che:
4 x 7 = 14 x 2
Osserviamo che
- 4 x 7 è il PRODOTTO DEGLI ESTREMI
- 14 x 2 è il PRODOTTO DEI MEDI
Ovvero: abbiamo verificato che sussiste la proprietà fondamentale!
PROPORZIONI definizioni e proprietà. Esempi ed esercizi
Uno dei “classici” esercizi proposti dai libri di testo delle medie richiede di verificare se una quaterna di numeri, dati in un certo ordine, rappresenta una proporzione. Per eseguire correttamente l’esercizio, vi basterà applicare la proprietà fondamentale delle proporzioni e verificare che il prodotto dei medi sia uguale al prodotto degli estremi.
Vediamo qualche esempio
ESEMPIO 1:
Verificare quali dei seguenti gruppi di numeri rappresentano una proporzione
3,4, 18, 24 // 15,10,12,4 // 23,7,9, 3// 8,5,9, 4
Scriviamo i gruppi dati sotto forma di proporzioni:
- 3 : 4 = 18 : 24 ?
- 15 : 10 = 12 : 4 ?
- 23 : 7 = 9 : 3 ?
- 8 : 5 = 9 : 4 ?
Vediamo se il prodotto dei medi (in blu) è uguale al prodotto degli estremi (in rosso)
- 3 x 24 = 4 x 18 ? Si : 72 = 72 quindi la prima è una proporzione
- 15 x 4 = 10 x 12 ? NO. Infatti 60 ≠ 120, per cui il secondo gruppo NON è una proporzione
- 23 x 3 = 7 x 9 ? SI. Infatti 63 = 63 e quella scritta è una proporzione
- 8 x 4 = 5 x 9 ? NO. Infatti 32 ≠ 45 e quindi il quarto gruppo NON rappresenta una proporzione
ESEMPIO 2 : SCRIVERE TRE PROPORZIONI AVENTI COME VALORE 3.
In pratica dobbiamo scrivere tre proporzioni che abbiano come rapporto il valore 3.
La prima coppia è semplice 3:1
Individuiamo ora altre coppie di numeri che, divisi, diano come quoto 3. Per esempio
- 21 : 7 = 3
- 18 : 6 = 3
- 24: 8 = 3
- 27 : 9 = 3
- 33 : 11= 3
- 15 : 5 = 3
- ….
Combinando tra loro i rapporti trovati, possiamo scrivere le proporzioni richieste
- 21 : 7 = 3 : 1
- 15 : 5 = 24 : 8
- 27 : 9 = 33 : 11
- …..
Nel prossimo articolo vi proporrò alcuni esercizi semplici per prendere confidenza con l’argomento e poi torneremo a parlare delle proprietà delle proporzioni