Terminato, almeno per ora, l’argomento “triangoli“, oggi ci occupiamo dei quadrilateri. Come per i triangoli, proveremo a mettere insieme tutto quanto abbiamo imparato su di essi.
Iniziamo con le definizioni base
RIPASSIAMO I QUADRILATERI : che cos’è un quadrilatero
Un quadrilatero è un poligono con 4 lati, 4 angoli e due diagonali.
In ogni quadrilatero
- Ciascun lato è minore della somma degli altri tre.
- La somma degli angoli interni misura 360°.
- La somma degli angoli esterni misura 360°.
- Le diagonali sono due.
- A, B, C, D sono vertici
- AB, BC, CD, DA sono lati
- ABC, BCD, CDA, DAB sono angoli
- AC, DB sono diagonali
RICORDA : Si chiama PERIMETRO la somma delle lunghezze dei lati
Se due quadrilateri hanno lo stesso perimetro , si dicono ISOPERIMETRICI
RIPASSIAMO I QUADRILATERI : CLASSIFICAZIONE DEI QUADRILATERI IN BASE AI LATI
⇒ TRAPEZI
I TRAPEZI sono i quadrilateri con almeno due lati paralleli. I lati opposti paralleli prendono il nome di BASI mentre gli altri due lati si chiamano LATI OBLIQUI. In tutti i trapezi, gli angoli adiacenti ad uno stesso lato obliquo sono supplementari.
Distinguiamo tre tipi di trapezi:
- scaleno : tutti i lati sono diversi tra loro
- isoscele : i lati obliqui sono congruenti. Inoltre, in un trapezio isoscele, risultano congruenti le proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore e le due diagonali. Siccome anche gli angoli alla base sono congruenti, gli angoli opposti sono supplementari e quindi tutti i trapezi isosceli si possono INSCRIVERE in una circonferenza.
- rettangolo : uno dei lati obliqui è perpendicolare alle due basi
⇒ PARALLELOGRAMMA :
i parallelogrammi sono quadrilateri con lati opposti paralleli e congruenti. Gli angoli opposti sono congruenti mentre gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari.
Le diagonali NON sono congruenti ma si dividono scambievolmente a metà. Il punto di incontro delle diagonali è CENTRO DI SIMMETRIA del parallelogramma.
In generale, i parallelogrammi NON hanno un asse di simmetria e le diagonali NON sono BISETTRICI degli angoli
⇒ ROMBO
I rombi sono parallelogrammi con tutti i lati congruenti (lunghezza ℓ).
Le diagonali di un rombo sono PERPENDICOLARI tra loro e sono BISETTRICI dei rispettivi angoli. Siccome di solito sono diverse, prendono il nome di diagonale MAGGIORE (D) e diagonale MINORE (d).
Oltre al centro di simmetria (coincidente con il punto di incontro delle diagonali), i rombi hanno anche due assi di simmetria (coincidenti con le diagonali).
Siccome le somme dei lati opposti sono uguali, ogni rombo si può circoscrivere ad una circonferenza (ovvero in ogni rombo possiamo inscrivere una circonferenza).
⇒ RETTANGOLO
I rettangoli soni parallelogrammi con tutti i lati congruenti (EQUIANGOLI). Siccome la somma degli angoli interni di un quadrilatero misura 360°, ciascun angolo misurerà 360: 4 = 90°, cioè tutti gli angoli di un rettangolo sono retti.
Le diagonali di un rettangolo sono congruenti. Il loro punto di incontro è centro di simmetria del rettangolo. I rettangoli hanno due assi di simmetria, coincidenti con gli assi dei lati. Siccome gli angoli opposti sono supplementari, i rettangoli si possono inscrivere in una circonferenza
⇒ QUADRATO
Sono quadrilateri regolari. Risultano cioè equilateri ed equiangoli. Tutti i lati sono congruenti e tutti gli angoli sono retti. Le diagonali sono congruenti e perpendicolari e bisettrici degli angoli retti, che risultano perciò divisi in due angoli di 45°
I quadrati hanno centro di simmetria nel punto di incontro delle diagonali ed hanno quattro assi di simmetria, due coincidenti con le diagonali e due coincidenti con gli assi dei lati.
Come per tutti i poligoni regolari, possiamo tracciare sia la circonferenza inscritta che circoscritta.
DELTOIDI
sono quadrilateri con le diagonali perpendicolari. In generale, le diagonali sono DISUGUALI e non si bisecano. I lati sono congruenti due a due.
RIPASSIAMO I QUADRILATERI : quadrilateri inscritti e circoscritti
Contrariamente a quanto avviene nei triangoli, NON sempre possiamo tracciare una circonferenza inscritta e una circoscritta.
⇒ CONDIZIONE NECESSARIA affinché si possa tracciare una circonferenza INSCRITTA a un quadrilatero è che siano uguali le somme dei lati opposti.
In altre parole: un quadrilatero può essere circoscritto ad una circonferenza se le somme dei lati opposti sono uguali
⇒ Per tracciare una circonferenza CIRCOSCRITTA a un quadrilatero è invece necessario che siano UGUALI le somme degli angoli opposti ovvero gli angoli opposti devono essere SUPPLEMENTARI (la loro somma deve essere di 180°) .
Ovvero: un quadrilatero può essere INSCRITTO in una circonferenza se gli angoli opposti sono supplementari.
RIPASSIAMO I QUADRILATERI : FORMULE DIRETTE E INVERSE
⇒ AREA DEL TRAPEZIO
AREA DEL PARALLELOGRAMMA
A = b ∘ h
b= A/h
h= A / b
PERIMETRO :
P = 2L + 2ℓ
AREA DEL ROMBO
A = ℓ ∘ h
ℓ = A : h
h = A : ℓ
Inoltre:
PERIMETRO DEL ROMBO
P = 4 ℓ
ℓ = P : 4
AREA DEL RETTANGOLO
- A = b x h
- h = A : b
- b = A : h
PERIMETRO DEL RETTANGOLO
- P = 2b + 2h
- h = (P – 2b) : 2
- b = (P – 2h) : 2
AREA DEL QUADRATO
- A = ℓ2
- ℓ = √A
ma è anche :
- A = d2:2
- d = √2A = ℓ ∘ √2
PERIMETRO DEL QUADRATO
P = 4 ℓ
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