Dopo aver parlato di numeri primi, oggi ci occupiamo di un argomento fondamentale: la scomposizione in fattori primi!
Infatti :
Ogni numero NON primo si può scomporre in prodotto di numeri primi.
La scomposizione si può fare in diversi modi.
- CON I DIAGRAMMI AD ALBERO
- CON IL METODO DELLE DIVISIONI SUCCESSIVE
SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI: TEOREMA fondamentale dell’aritmetica
Ogni numero naturale n > 1 si può scrivere in modo unico come prodotto di numeri primi.
In termini più complicati, lo stesso teorema si enuncia :
Ogni numero intero positivo diverso da 1 può essere espresso come prodotto di numeri primi in modo tale che n= p1a1• p2a2• p3a3• … • pmam dove p1, p2,…, pm sono i numeri primi ordinati in modo che p1 < p2 < p3 <…< pm e dove a1, a2, a3,…, am sono gli esponenti interi positivi.
Per esempio la scomposizione in fattori primi di 4116 è 4116=22•3•73 , dove 3=31
La scomposizione di un numero in fattori primi viene anche chiamata fattorizzazione in numeri primi
In pratica: scomporre un numero in fattori primi significa scriverlo come PRODOTTI DI NUMERI PRIMI. Se il numero da scomporre non è grande, possiamo procedere per tentativi:
24 = 2 x 12 = 2 x 4 x 3 = 2 x 2 x 2 x 3 = 2³ x 3
Possiamo riportare questo procedimento in un DIAGRAMMA AD ALBERO
SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI con i diagrammi ad albero
E’ il metodo più semplice per cominciare a prendere dimestichezza con la scomposizione in fattori primi. Infatti si procede come nell’esempio precedente, riportando però i numeri in una struttura ad albero. Cominciamo quindi con il cercare due numeri, che, moltiplicati tra loro, mi diano il numero da scomporre. Se i due numeri non sono primi, troviamo altri due numeri che, moltiplicati tra loro, mi diano il numero trovato… e via di seguito.
La scomposizione si conclude quando tutti i rami dell’albero terminano con un numero primo. Più difficile a dirsi che a farsi. Vediamo con un esempio, riportando nel diagramma ad albero la scomposizione di 24:
Scomponiamo ora il numero 100:
100 = 2² x 5²
SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI con le divisioni successive
Per scomporre in fattori primi un numero maggiore di 2, cominciamo a dividere il numero dato per il minore dei numeri primi ed eventualmente procediamo ancora nella divisione per tale divisore, se possibile.
Se non lo è, si divide per il numero primo immediatamente superiore, se si può, e così via fino ad avere per quoziente 1.
ESEMPIO 1: Scomponiamo in fattori primi il numero 84
Siccome 84 è un numero pari, cominciamo a dividerlo per 2. Il risultato è 42, che è ancora un numero pari.
Dividendo poi 42 per 2 otteniamo 21, divisibile per 3. Il risultato è 7, che è un numero primo, divisibile per se stesso, con quoziente 1. La scomposizione si arresta.
Schematicamente:
La scomposizione è perciò: 84 = 2² x 3 x 7
Esempio 2 : scomporre in fattori primi il numero 252
La scomposizione richiesta è quindi : 252 = 2·2·3·3·7 = 22·32·7
SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI. Esercizi
Come sempre, ora non ci resta che esercitarci con quanto appreso. Cominceremo con esercizi semplici per poi “complicarci la vita”!
ESERCIZIO 1 : Di fianco a ogni uguaglianza metti una crocetta su V se è vera, su F se è falsa, a seconda che si tratti o no di una corretta scomposizione in prodotto di fattori primi.
V F
- 36 = 4 x 32 ⎕ ⎕
- 96 = 25 x 3 ⎕ ⎕
- 40 = 23 x 5 ⎕ ⎕
- 100 = 102 ⎕ ⎕
- 49 = 72 ⎕ ⎕
ESERCIZIO 2: Scomponi mentalmente in fattori primi i seguenti numeri.
Es.: 15 = 3 x 5
- 20 = …………..
- 36 = …………..
- 60 = …………..
- 27 = …………..
- 56 = ………….
ESERCIZIO 3: scomponi in fattori primi mediante diagrammi ad albero
- 21
- 48
- 26
- 124
- 64
- 84
- 171
- 300
ESERCIZIO 4: Collega ciascuna scomposizione in fattori primi al numero corrispondente.
22 x 52 360
32 x 23 x 5 100
24 x 33 132
22 x 3 x 11 588
3 x 22 x 72 432
ESERCIZIO 5 : Scomponi i seguenti numeri in prodotto di fattori primi con il metodo delle divisioni successive
