Mentre porto avanti il lavoro di soluzione degli esercizi relativi a piano cartesiano e retta, che si stanno arricchendo poco alla volta di tanti altri spunti, torniamo a parlare di sistemi lineari e vediamo insieme come stabilire se un sistema ammette oppure no delle soluzioni.
TIPI DI SISTEMI LINEARI : SISTEMI DETERMINATI
Un sistema si dice determinato quando ha un numero finito di soluzioni. Si dimostra che un sistema lineare determinato ha una sola soluzione.
Consideriamo un generico sistema scritto in forma normale:
con a, a1, b, b1≠ 0.
Esso è determinato quando il rapporto fra i coefficienti di x è diverso dal rapporto fra i coefficienti di y:
Nel caso di un sistema determinato, le due rette che rappresentano le equazioni del sistema, si incontrano in un punto, le cui coordinate rappresentano proprio la soluzione del sistema
TIPI DI SISTEMI LINEARI: I SISTEMI IMPOSSIBILI
Un sistema è impossibile quando non ammette soluzioni. In generale, un sistema in forma normale
con a, a1, b, b1≠ 0.
è IMPOSSIBILE quando il rapporto fra i coefficienti di x è UGUALE al rapporto fra i coefficienti di y, ma tale rapporto è DIVERSO dal rapporto tra i termini noti:
Nel caso di un sistema impossibile, le due rette hanno lo stesso coefficiente angolare e quindi sono parallele ma sono due rette diverse, essendo diversi i termini noti. Siccome sono parallele, esse non si incontrano MAI e quindi il sistema non ha soluzione.
TIPI DI SISTEMI LINEARI: I SISTEMI INDETERMINATI
Un sistema è indeterminato quando ha infinite soluzioni.
In generale, un sistema in forma normale:
con a, a1, b, b1≠ 0, è INDETERMINATO quando il rapporto fra i coefficienti di x è UGUALE al rapporto fra i coefficienti di y, e tale rapporto è UGUALE al rapporto tra i termini noti:
Nel caso di un sistema indeterminato, le due rette hanno lo stesso coefficiente angolare e LO STESSO TERMINE NOTO. Sono quindi parallele e COINCIDENTI: in pratica sono la stessa retta e il sistema ha INFINITE SOLUZIONI, corrispondenti alle coordinate degli infiniti punti che appartengono alle due rette:
TIPI DI SISTEMI LINEARI : RICAPITOLANDO
Un sistema sarà:
– determinato se
– indeterminato se
– impossibile se
TIPI DI SISTEMI LINEARI : esempi
ESERCIZIO 1
Scrivi il sistema in forma normale e stabilisci se è determinato, indeterminato o impossibile
Riscriviamo la prima equazione del sistema in forma normale:
Calcoliamo ora il rapporto tra i coefficienti. Otteniamo:
Il sistema dato è quindi determinato:
La soluzione è il punto A (0;1)
ESERCIZIO 2
Scrivi il sistema in forma normale e stabilisci se è determinato, indeterminato o impossibile
Riscriviamo la prima equazione per ricondurre il sistema in forma normale:
Calcoliamo ora il rapporto tra i coefficienti. Abbiamo:
Il sistema è impossibile : infatti le due rette che rappresentano le equazioni del sistema sono parallele ma NON coincidenti
Nei prossimi giorni vi proporrò molti altri esercizi, dopo aver parlato dei metodi di risoluzione dei sistemi lineari