RISOLUZIONE DEI SISTEMI LINEARI
Dopo aver parlato dei sistemi lineari in generale ed aver visto quale relazione intercorra tra i suoi coefficienti per stabilire se ammetta o meno soluzione, oggi finalmente vediamo come si risolve un sistema!
E poi passeremo a tanti esempi, che cercherò di diluire nel tempo, poco alla volta. In particolare, ci concentreremo sull’uso dei sistemi lineari per risolvere molti tipi di problemi!
RISOLUZIONE DEI SISTEMI LINEARI: I metodi di soluzione
Per risolvere un sistema lo si riduce solitamente in forma normale applicando i principi di equivalenza delle equazioni.
Si utilizzano poi diversi metodi. In particolare, per la risoluzione di un sistema lineare, possiamo usare CINQUE metodi:
- GRAFICO
- SOSTITUZIONE
- CONFRONTO
- RIDUZIONE (ADDIZIONE E SOTTRAZIONE)
- CRAMER
A seconda del sistema o del problema che stiamo risolvendo, può essere utile usare uno dei cinque metodi.
RISOLUZIONE DEI SISTEMI LINEARI: metodo grafico
Il metodo grafico ci permette di “visualizzare” la soluzione e darne una stima, ma in generale non permettere di determinare la soluzione in modo esatto, tranne che in alcuni casi.
Ad esempio se la soluzione è costituita da numeri interi visibili nella parte del grafico rappresentata
Con il metodo grafico possiamo stabilire rapidamente se un sistema è determinato, indeterminato o impossibile.
RISOLUZIONE DEI SISTEMI LINEARI : il metodo di sostituzione
Ci conviene usare questo metodo se in una delle due equazioni del sistema una delle incognita ha coefficiente uguale ad 1.
In altri casi diventa “complicato” gestire le divisioni eventualmente presenti ed è quindi più conveniente utilizzare un altro dei metodi seguenti
Per applicare il metodo di sostituzione dobbiamo compiere i seguenti passaggi:
- Riconduciamo il sistema in forma normale
- Ricaviamo una delle incognite da una delle due equazioni.
- Sostituiamo l’espressione ottenuta nell’altra equazione. In questo modo otteniamo un’equazione con una sola incognita
- Risolviamo l’equazione che contiene una sola incognita
- Sostituiamo la soluzione ottenuta nell’espressione dell’incognita da determinare
RISOLUZIONE DEI SISTEMI LINEARI : il metodo del confronto
E’ conveniente per trovare le coordinate del punto di intersezione di due rette di cui conosciamo le equazioni in forma esplicita, ovvero nella forma:
y = mx + q
Ci basta confrontare le due espressioni della y per trovare la x
COME APPLICARE IL METODO DEL CONFRONTO :
- Ricaviamo la stessa incognita da entrambe le equazioni:
- Uguagliamo le due espressioni ottenute; ricaviamo così un’equazione nella quale compare solo l’altra incognita:
- Risolviamo l’equazione in una sola incognita
- Sostituiamo il valore dell’incognita, trovato al punto 3, in una delle due equazioni iniziali:
- Risolviamo l’equazione in un’incognita trovata al punto 4 e ricaviamo così l’incognita mancante
RISOLUZIONE DEI SISTEMI LINEARI : il metodo di riduzione (o di addizione e sottrazione o anche di Gauss)
Ci conviene usare questo metodo quando le due equazioni del sistema in forma normale presentano due termini nella stessa incognita uguali oppure opposti.
Ci basta così sottrarre le due equazioni per eliminare un’incognita e determinare l’altra.
Come applicare il metodo di riduzione
- Moltiplichiamo una o entrambe le equazioni per fattori non nulli, in modo che i coefficienti di una delle variabili risultino uguali od opposti:
- Se i coefficienti ottenuti al punto 1 sono uguali, sottraiamo membro a membro le due equazioni; se i coefficienti sono opposti, sommiamo membro a membro; otteniamo così un’equazione in una sola incognita:
- Risolviamo l’equazione in una sola incognita:
- Ripetiamo i passi 1, 2 e 3 per determinare l’altra incognita
RISOLUZIONE DEI SISTEMI LINEARI: il metodo di Cramer
Probabilmente il più semplice dei metodi, ci permette di risolvere facilmente anche i sistemi letterali. Purtroppo per poterlo applicare dobbiamo ricordare le formule “a memoria”
COME APPLICARE IL METODO DI CRAMER
- Calcoliamo il determinante del sistema
- Ricaviamo poi il determinante Dx e il determinante Dy:
- Calcoliamo la soluzione
Vedremo nei prossimi giorni i vari metodi, con numerosi esempi ed esercizi svolti