METODO DI SOSTITUZIONE E SISTEMI LINEARI

METODO DI SOSTITUZIONE PER LA RISOLUZIONE DEI SISTEMI LINEARI

Dopo aver parlato dei sistemi lineari in generale ed aver visto quale relazione intercorra tra i suoi coefficienti per stabilire se ammetta o meno soluzione, oggi finalmente vediamo come si risolve un sistema!

Abbiamo già accennato ai cinque metodi risolutivi, indicando quando conviene usare l’uno o l’altro. Ovviamente solo l’esercizio ci permetterà di capire velocemente quale metodo utilizzare.

Intanto cominciamo a vedere più nel dettaglio il metodo di sostituzione.

I metodi di soluzione

Per risolvere un sistema lo si riduce solitamente in forma normale applicando i principi di equivalenza delle equazioni.

Si utilizzano poi diversi metodi. In particolare, per la risoluzione di un sistema lineare, possiamo usare CINQUE metodi:

GRAFICO
SOSTITUZIONE
CONFRONTO
RIDUZIONE (ADDIZIONE E SOTTRAZIONE)
CRAMER

A seconda del sistema o del problema che stiamo risolvendo, può essere utile usare uno dei cinque metodi.

METODO DI SOSTITUZIONE

E’ uno dei metodi più usati per risolvere i sistemi, non solo lineari. Possiamo utilizzarlo ogni volta che è facile ricavare, da una delle equazioni del sistema, una delle incognite in funzione dell’altra (o delle altre)

COME SI APPLICA

Per applicare questo metodo, dobbiamo compiere i seguenti passaggi:

Riconduciamo il sistema in forma normale
Ricaviamo una delle incognite da una delle due equazioni.
Sostituiamo l’espressione ottenuta nell’altra equazione. In questo modo otteniamo un’equazione con una sola incognita, detta EQUAZIONE RISOLVENTE del sistema.
Risolviamo l’equazione che contiene una sola incognita
Sostituiamo la soluzione ottenuta nell’espressione dell’incognita da determinare
Concludiamo scrivendo la soluzione del sistema, se esiste

Vediamo come utilizzare questo metodo con un esempio.

Vogliamo risolvere il seguente sistema:

Ricaviamo una delle due incognite da una delle due equazioni. Scegliamo in modo da rendere più semplici i calcoli. Ad esempio ricaviamo la x in funzione della y dalla prima equazione. Otteniamo:

Sostituiamo l’espressione trovata per l’incognita nell’altra equazione; otteniamo così un’equazione in una sola incognita, la y:

Risolviamo l’equazione in una sola incognita:

-10y+6-4y= -8 ⇒ -14y = -14 ⇒ y = 1

Sostituiamo la soluzione trovata nell’espressione dell’incognita ancora da determinare e ricaviamo così la seconda incognita:

ovvero :

Graficamente :

METODO DI SOSTITUZIONE: esercizi

Nel pdf allegato troverete diversi tipi di esercizi, riguardanti anche la prima parte della teoria dei sistemi lineari. Ad esempio ho preparato esercizi sul metodo grafico ma anche sulla soluzione dei sistemi e sulla loro riduzione in forma normale

ESEMPIO 1

Stabilisci se la coppia ordinata (3,2) è soluzione del seguente sistema:

Come sappiamo dalla teoria, una coppia ordinata di numeri è soluzione di un sistema se soddisfa contemporaneamente entrambe le equazioni del sistema.

Sostituiamo quindi i valori dati nelle due equazioni: al posto della x mettiamo il valore 3 e invece mettiamo al posto di y il valore 2.

Otteniamo:

Siccome la seconda equazione non è soddisfatta, la coppia data non è soluzione del sistema.

ESEMPIO 2: INTERPRETAZIONE GRAFICA DI UN SISTEMA

STABILISCI SE IL SISTEMA DATO AMMETTE SOLUZIONE ED EVENTUALMENTE DETERMINALA GRAFICAMENTE

Innanzitutto calcoliamo il rapporto tra i coefficienti di x ed y, per vedere se il sistema ammette soluzione. Abbiamo:

3≠ -1

quindi il sistema dato ha soluzione. Per determinarla, tracciamo le due rette che rappresentano le equazioni date. Ricordiamo che ci basta trovare due punti per ciascuna retta per tracciare il grafico

Abbiamo quindi :

ESEMPIO 3: RIDUZIONE DI UN SISTEMA LINEARE A FORMA NORMALE

Riduci a forma normale il seguente sistema:

Per ricondurre il sistema in forma normale, dobbiamo scrivere le due equazioni nella forma

ax +by = c

in cui compaiono le due incognite a primo membro e il termine noto a secondo membro.

Abbiamo quindi :

METODO DI SOSTITUZIONE ESERCIZI

ESEMPIO: Risolvi il seguente sistema con il metodo di sostituzione

Possiamo procedere in due modi. Possiamo infatti ricavare la x in funzione della y dalla seconda equazione oppure ricavare la y in funzione di x dalla prima.

Proviamo con questo metodo. Otteniamo: