In attesa che completi gli esercizi riguardanti l’argomento rette – piano cartesiano, passiamo ai sistemi di due equazioni in due incognite, per affrontare poi rapidamente anche le equazioni di secondo grado e i radicali. Ma ci sono anche tanti altri argomenti che sto preparando per voi… Ci vorrà un po’ di tempo, visto che sto cercando di aggiungere quanti più esempi svolti possibile. Ma alla fine spero che tutto questo vi tornerà utile!
SISTEMI LINEARI : EQUAZIONI LINEARI IN DUE INCOGNITE
Consideriamo le due equazioni, che sappiamo già rappresentare la forma implicita dell’equazione di una retta nel piano cartesiano:
3x -5y -4 =0
3y – x + 1 = 0
Sono esempi di equazioni di primo grado in due incognite, ovvero di un’equazione lineare in due incognite.
DEFINIZIONE : EQUAZIONE LINEARE è un’equazione di PRIMO GRADO per tutte le incognite presenti.
La soluzione di ognuna di queste equazioni è una coppia di valori (x,y) che rende vera la relazione di uguaglianza.
Per esempio la coppia (0;-4/5) rende vera la prima mentre la coppia (0;-1/3) è una soluzione della seconda.
Verifichiamo quanto affermato: ci basta mettere i due valori nelle equazioni. Per la prima abbiamo:
3 ∘ 0 – 5 ∘ (-4/5) -4 = 0
0 + 4 – 4 = 0
0 = 0
Ed è quindi vera
Analogamente, per la seconda, mettendo 0 al posto della x e -1/3 al posto della y otteniamo:
3 ∘ (-1/3) – 1 ∘ 0 + 1 = 0
-1 -0 +1 = 0
0 = 0
Se vogliamo trovare altre soluzioni, ci basta assegnare valori a caso alla x e stabilire poi quanto vale la y. Proviamo insieme con il valore x = 1. Otteniamo, per la prima equazione
3 ∘ 1 – 5 y -4 = 0 ⇒ 3 – 5y – 4 = 0 ⇒ -5y = 1⇒ y = -1/5 ⇒ la soluzione è la coppia (1;-1/5)
Per la seconda, invece :
3y -1 ∘ 1 +1 = 0 ⇒ 3y = 0 ⇒ y = 0 ⇒ la soluzione è la coppia (1;0)
Possiamo trovare altre soluzioni allo stesso modo, attribuendo diversi valori a x e ricavando i rispettivi valori di y.
Esistono INFINITE coppie (x; y) che soddisfano ciascuna equazione. Questa affermazione si può tradurre dicendo che
ogni equazione lineare in due incognite è indeterminata.
SISTEMI LINEARI : che cos’è un sistema
Si chiama “SISTEMA DI EQUAZIONI” un insieme di due o più equazioni nelle stesse incognite che si vuole siano soddisfatte contemporaneamente.
In pratica, se abbiamo due incognite, ci servono almeno due equazioni per risolvere il sistema.
Risolvere un sistema significa trovare le soluzioni che soddisfano contemporaneamente TUTTE LE EQUAZIONI che lo compongono.
In altre parole : per risolvere un sistema dobbiamo trovare i valori che rendono vere tutte le equazioni del sistema stesso.
Per indicare un sistema, si scrivono le equazioni in colonna, racchiuse da una parentesi graffa:
Vedremo a breve come risolverlo. Intanto vi dico solo che la soluzione è
GRADO DI UN SISTEMA
Il grado di un sistema di equazioni algebriche intere è il PRODOTTO dei gradi delle singole equazioni che lo compongono.
Ad esempio il sistema precedente è di PRIMO GRADO perché composto da equazioni di primo grado, del tipo
ax – by = c , con a ≠ 0 e b≠ 0
Il prodotto dei gradi di x ed y è infatti: 1 ∘ 1 = 1
Un sistema di primo grado è detto sistema lineare.
In pratica, un sistema lineare è formato soltanto da equazioni di primo grado. Sono questi i sistemi di cui ci occuperemo.
SISTEMI LINEARI IN FORMA NORMALE
Per risolvere un sistema lineare dobbiamo scriverlo in FORMA NORMALE, ovvero ricondurlo alla forma :
- a, a1 e b, b1 indicano, rispettivamente, i coefficienti delle incognite x e y
- c e c1 indicano i termini noti delle due equazioni.
Per riportare il sistema in forma normale ci basta trasformare le equazioni che lo compongono in altre equivalenti, aventi cioè la stessa soluzione, applicando le regole viste per le equazioni.
In base alle soluzioni che presentano, i sistemi possono essere classificati in
- DETERMINATI : se hanno un numero FINITO di soluzioni
- INDETERMINATI : se ha infinite soluzioni
- IMPOSSIBILI : se hanno infinite soluzioni
Inoltre, un sistema si dice
- INTERO se tutte le equazioni che lo compongono sono INTERE
- FRAZIONARIO in caso contrario
Nella prossima lezione vedremo meglio la classificazione precedente. Intanto però occupiamoci di capire che cosa significa graficamente risolvere un sistema.
Interpretazione grafica di un sistema
Sappiamo già che, nel piano cartesiano, ogni equazione lineare in due incognite individua una retta. È quindi possibile dare un’interpretazione grafica anche dei sistemi lineari di due equazioni in due incognite x e y.
Risolvere un sistema significa trovare il punto di incontro tra le due rette individuate dalle due equazioni che compongono il sistema. Vediamo con un ESEMPIO.
Consideriamo il sistema
Le due equazioni rappresentano due rette nel piano cartesiano. Tracciamo le due rette:
La soluzione del sistema rappresenta il punto di incontro tra le due rette y = x+1 e y=-2x-2. Il sistema dato ha quindi un’unica soluzione, la coppia ordinata (-1;0).
SISTEMI LINEARI IN DUE INCOGNITE : ESERCIZI
ESERCIZIO 1 : Per ogni equazione nelle incognite x e y verifica se le coppie di numeri scritte a lato sono soluzioni
- 2x +6y -5= 0 (0; 1) (1;1/2) (5/2;0)
- x-2y – 1 = 0 (1;1) (3;5) (2;3)
- 3x – 2y + 1 = 0 (7;11), (5;6)
- x – 4y + 8 = 0 (-1;2) (- 8; 4)
Per portare a termine l’esercizio, dobbiamo sostituire nelle equazioni i valori dati. Nella prima abbiamo
- (0; 1) : 2 (0) + 6 (1) – 5 = 1 ≠ 0 : il punto (0;1) non è soluzione dell’equazione lineare
- (1;1/2) : 2 (1) + 6 (1/2) – 5 = 5-5 = 0 : il punto (1;1/2) è soluzione dell’equazione lineare
- (5/2;0) : 2 (5/2) + 6 (0) – 5 = 5-5 = 0 Il punto (5/2;0) è soluzione dell’equazione lineare
Analogamente per le altre equazioni
ESERCIZIO 2 : Stabilisci se la coppia (3;2) è soluzione del sistema
La coppia di numeri data è soluzione del sistema se SODDISFA CONTEMPORANEAMENTE entrambe le equazioni che compongono il sistema.
Dobbiamo quindi sostituire i valori di x e y dati in entrambe le equazioni e verificare che siano entrambe vere.
Abbiamo :
La coppia (3;2) NON soddisfa la seconda equazione del sistema per cui NON e’ soluzione del sistema proposto.
Nel pdf allegato trovate altri esercizi simili