Finalmente abbiamo terminato con retta e piano cartesiano e potremo passare finalmente a parlare di SISTEMI LINEARI e di molti altri argomenti.
Prima però, dedichiamoci ad un veloce ripasso, per mettere insieme tutte le formule viste finora ed usarle nei nostri esercizi.
PIANO CARTESIANO E RETTA : ripassiamo la teoria
⇨ COORDINATE DI UN PUNTO SU UN PIANO
Il piano cartesiano è suddiviso dai due assi in quattro angoli retti chiamati quadranti.
Ogni punto del piano è individuato da una coppia di numeri reali, detti coordinate.
La prima coordinata si chiama ascissa e la seconda ordinata.
L’origine O degli assi ha coordinate (0; 0).
⇨ DISTANZA TRA DUE PUNTI
La distanza fra due punti A(xA; yA) e B(xB; yB) è data da:
⇨ PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO
⇨ EQUAZIONE RETTA PASSANTE PER L’ORIGINE
Una retta passante per l’origine, purché diversa dall’asse y, ha equazione
y = mx
L’asse y ha equazione x = 0.
m = coefficiente angolare della retta = angolo formato con l’asse x
- m = 0, otteniamo y = 0 (equazione dell’asse x);
- per m = 1, otteniamo y = x (equazione della bisettrice del I e III quadrante);
- se m= -1, otteniamo y= -x (equazione della bisettrice del II e IV quadrante).
⇨ Equazione generale della retta
FORMA ESPLICITA
y = mx + q
FORMA IMPLICITA
ax + by + c = 0
RICORDA :
- m = coefficiente angolare = -a/b
- q = -c/b = ordinata all’origine
Nel caso di una retta passante per due punti:
⇨ EQUAZIONE RETTA PER DUE PUNTI :
Date le coordinate di due punti P1 (x1; y1) e P2 (x2; y2), l’equazione della retta che li unisce è:
⇨ RETTE PARALLELE e PERPENDICOLARI :
Date due rette
- r : y = mx + q
- s : y = m’x + q’
abbiamo:
- RETTE PARALLELE : m = m’
- RETTE PERPENDICOLARI : m = -1/m’ (m∘m’ = -1)
Se le equazioni delle rette r ed s sono date in forma implicita :
- r: ax + by + c = 0
- s: a’x + b’y + c’ = 0
esse sono parallele se :
ab’= a’b ⇒ ab’- a’b = 0
Possiamo quindi riassumere le due condizioni di parallelismo:
m= m’ ⇔ ab’- a’b = 0
Le due rette sono invece perpendicolari se :
m= – 1/ m’ ⇔ aa’+ bb’ = 0
⇒ FASCI DI RETTE
FASCIO IMPROPRIO = insieme di rette parallele ad una retta data r : y = m1x + q1
Le rette del fascio improprio hanno tutte lo stesso m e differiscono solo per q :
y = m1x + q
FASCIO PROPRIO DI CENTRO P(x1; y1) :
y – y1 = m (x – x1) ⋃ x = x1
⇒ DISTANZA RETTA – PUNTO
Dato il punto P (x0; y0) e la retta di equazione ax + by + c = 0, la distanza di P (x0; y0) dalla retta è data dalla formula:
per finire, domani ci dedicheremo a tanti esercizi!