Riprendiamo un attimo alcuni concetti di “matematica pratica”, che abbiamo preso in esame nella precedente lezione, e approfondiamo alcuni punti.
INTERESSE MONTANTE E CAPITALE : RIPASSIAMO I CONCETTI
Quando apriamo un conto corrente in banca, nel contratto viene indicato quello che si chiama TASSO DI INTERESSE ANNUO.
Il tasso di interesse rappresenta il “costo del denaro” ed è quanto ci costa il denaro se siamo noi a chiederlo in prestito.
Nel caso dei depositi bancari, in pratica, la banca, a fine anno, concede al titolare del conto una somma che si aggiunge ai soldi depositati. Questa somma è l’INTERESSE.
In matematica finanziaria, si definisce interesse la somma dovuta come compenso per ottenere la disponibilità di un capitale (solitamente una somma di denaro) per un certo periodo.
L’interesse viene determinato in base al tasso di interesse annuo.
Supponiamo di aver depositato in banca 4000 euro e che la banca ci assicuri un tasso netto del 2%.
L’AMMONTARE DEL DENARO VERSATO SI CHIAMA CAPITALE
Dopo un anno, questo capitale avrà “maturato” un interesse, cioè la banca ci farà trovare sul conto un capitale aumentato dell’interesse. Siccome il tasso di interesse è del 2%, sul conto corrente troveremo:
Sul conto corrente troveremo quindi
4 000 + 80 euro = 4 080 euro = MONTANTE
Si chiama MONTANTE la somma del capitale e dell’interesse.
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INTERESSE (I)= CAPITALE (C) x TASSO ANNUO DI INTERESSE (i)
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CAPITALE = DENARO VERSATO
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MONTANTE = CAPITALE (C) + INTERESSE (I)
IN GENERALE, per determinare l’interesse I, dobbiamo MOLTIPLICARE il tasso di interesse annuo (i) per il capitale C:
I = i ∘ C
INTERESSE = CAPITALE x TASSO D’INTERESSE ANNUO
Risulta poi :
M = I + C
MONTANTE = INTERESSE + CAPITALE
RICAPITOLANDO:
quando depositiamo in banca del denaro, otteniamo un interesse, cioè un “premio” in denaro aggiuntivo rispetto a quanto depositato. Il denaro depositato è chiamato capitale.
L’interesse semplice è quanto si riceve in più rispetto al capitale, allo scadere del tempo stabilito.
Indichiamo con C il capitale, con i il tasso percentuale di interesse e con t la durata dell’investimento in anni. L’interesse semplice I dipende da queste grandezze e si calcola con la seguente formula:
I = C ⋅ i ⋅ t
INTERESSE MONTANTE E CAPITALE: le formule inverse
Partendo dalla formula precedente si possono ricavare le formule che permettono di calcolare le altre variabili.
ESEMPIO 1
Calcoliamo l’interesse semplice maturato da un capitale di 4000 € investito per 3 anni al tasso di interesse semplice del 5%.
Siccome
I = C ⋅ i ⋅ t
con i valori forniti abbiamo :
I = 4000€ ⋅ 5%⋅ 3 = 4000€ ⋅ 5/100⋅ 3 = 600 €
L’interesse semplice maturato è di 600 €.
ESEMPIO 2
Calcoliamo il tasso di interesse semplice di un capitale di 5000 € che, investito per 4 anni, ha maturato un interesse semplice di 1200 €.
Siccome :
con i valori numerici dati abbiamo :
i = (1200) : (5000 x 4) = 0,06 = 6%
Il tasso di interesse applicato è del 6%.
INTERESSE MONTANTE E CAPITALE : L’INTERESSE PER PERIODI INFERIORI ALL’ANNO
Che cosa succede se invece che per un anno tengo i miei soldi in banca per un periodo inferiore?
Supponiamo di depositare in banca 2800 €, al tasso di interesse annuo del 3%. Dopo 4 mesi abbiamo bisogno di ritirare il denaro. Quanto riceveremo di interesse?
Dobbiamo calcolare la frazione di anno per cui abbiamo lasciato i soldi in deposito, pari a 4/12 = 1/3
L’interesse dovuto è quindi pari alla stessa frazione dell’interesse che avremmo maturato per l’intero anno.
Risulta cioè
I = (2800 x 3) : 100 = 84 €
Dobbiamo ora calcolare la frazione corrispondente al periodo:
(84 x 1) : 3 = 28 €
In pratica, se indichiamo con I l’interesse maturato, con C il capitale, i il tasso annuo e con m il numero di mesi di durata del deposito, abbiamo :
Se invece che in mesi calcoliamo il tempo di deposito in giorni, sapendo che nelle questioni di carattere economico l’anno si considera della durata di 360 giorni, abbiamo:
INTERESSE MONTANTE E CAPITALE : L’INTERESSE PER PERIODI superiori ALL’ANNO
Supponiamo di lasciare i nostri soldi in banca per un periodo superiore a un anno. Ad esempio depositiamo in banca 1000 € al 2% di tasso annuale di interesse. Dopo due anni vogliamo ritirare il montante. Quale cifra preleveremo?
Siccome il tasso di interesse è annuale, come abbiamo anche accennato sopra, dobbiamo procedere anno per anno. Al primo anno i nostri interessi saranno:
I1= 1000 x 2/100 = 20 €
Siccome non preleviamo, alla fine del primo anno il nostro montante sarà di 1020 €. Gli interessi del secondo anno, andranno calcolati sul montante maturato alla fine del primo anno, che diventa il capitale del secondo:
I 2 = 1020 x 2/100 = 20,40 €
Alla fine del secondo anno quindi il montante che ritireremo sarà pari a : M = 1020 + 20,40 = 1040,20 €
INTERESSE MONTANTE E CAPITALE : INTERESSE COMPOSTO
Quello che abbiamo introdotto adesso si chiama INTERESSE COMPOSTO:
L’interesse viene detto composto quando, invece di essere pagato o riscosso, è aggiunto al capitale iniziale che lo ha prodotto.
Questo comporta che alla maturazione degli interessi il montante verrà riutilizzato come capitale iniziale per il periodo successivo, ovvero anche l’interesse produce interesse.
Capitalizzazione nel continuo. Un capitale C0, applicato in regime di capitalizzazione composta per t anni a un tasso di interesse annuo i, genera un capitale finale M, detto montante, assegnato dalla formula:
M = C0(1 + i)t
Supponiamo ora che la capitalizzazione avvenga ogni 6 mesi anziché ogni anno. Dopo 6 mesi riscuoteremmo un capitale
M = C0(1 + i/2)
Se, subito dopo avere riscosso il capitale, lo reinvestissimo immediatamente per altri 6 mesi otterremo alla fine un montante:
M= C0(1 + i/2) + C0(1 + i/2)i/2 = C0(1 + i/2) (1+i/2) = C0(1 + i/2)2
se ritirassimo il capitale ottenuto dopo 1 anno e lo reinvestissimo nuovamente per altri 6 mesi otterremmo dopo 1 anno e mezzo (3 semestri) un montante:
M = C0(1 + i/2)3
Dopo, per esempio, 3 anni (6 semestri) avremmo un montante:
M = C0(1 + i/2)6 = 2×3
In generale un capitale C0, investito a un tasso annuo i, composto n volte in un anno, genera dopo t anni un montante M espresso dalla formula:
M = C0(1 + i/n)nt
Supponiamo di portare al limite estremo il numero n di volte in cui l’interesse viene composto in un anno, cioè di fare tendere n a infinito.
Ciò significa che gli interessi iniziano a loro volta a produrre interesse in un istante immediatamente successivo a quello in cui sono maturati.
Si parla in questo caso di capitalizzazione nel continuo, perché non vi è soluzione di continuità nella capitalizzazione: a ogni istante matura interesse e questo viene aggiunto al capitale per produrre, a sua volta, nuovo interesse.
Nel pdf allegato troverete numerosi esercizi per prendere confidenza con questi concetti