Torniamo a parlare di Geometria, occupandoci finalmente della misurazione degli angoli, argomento che ci porterà poi a parlare di Geografia e di tanti altri concetti!
Purtroppo per qualche tempo dovremo accantonare matematica e geometria, perché per aiutare i miei ragazzi in questo periodo stiamo occupandoci soprattutto di Chimica Organica e Fisica!
Saranno quindi questi gli argomenti principali dei nostri articoli. Sfrutterò poi il periodo estivo per cercare di rimettermi in pari con i “programmi ministeriali”!
MISURARE GLI ANGOLI
La necessità di misurare gli angoli nacque nell’antichità, dall’osservazione del cielo. I nostri antenati, infatti, notarono che le stelle si spostano in cielo descrivendo degli archi di circonferenza.
La misura convenzionale dell’angolo nacque migliaia di anni fa e secondo alcuni storici il merito sarebbe da attribuire ai Babilonesi.
Come nacque? La scelta di dividere un angolo giro in 360 parti risale al tempo in cui si credeva che la Terra fosse al centro dell’universo e che il Sole le ruotasse intorno, impiegando proprio 360 giorni.
Unendo la posizione iniziale e finale in cui si trovava il Sole dopo aver viaggiato per un giorno, con la Terra che al centro, si ottenne l’angolo chiamato angolo grado o semplicemente grado.
L’intero giro fu quantificato in 360 gradi.
A che servono i gradi? Ad esempio, per indicare che un oggetto si è spostato lungo una circonferenza:
Ricordiamo che per gli antichi i moti dei corpi celesti erano lo strumento per misurare lo scorrere del tempo. Forse per questo angoli e tempo vengono misurati con lo stesso sistema.
IL SISTEMA SESSAGESIMALE
Le misure del tempo e degli angoli non utilizzano il sistema decimale ma quello SESSAGESIMALE.
Che cosa significa? Invece che in base 10, il sistema è in base 60:
ogni unità contiene 60 volte quella immediatamente inferiore ed è contenuta 60 volte in quella immediatamente superiore
L’unità di misura del sistema sessagesimale è il GRADO (°), definito come la 360° parte di un angolo giro.
Ogni grado è poi diviso in 60 PRIMI (‘) ed ogni primo è diviso in 60 SECONDI (”)
Risulta cioè :
- 1° = 60’
- 1’ = 60”
- 1’’ = 3600°
Se ad esempio un angolo α misura 37 gradi, 25 primi e 47 secondi, scriveremo:
α = 37° 25’ 47’’
MISURARE GLI ANGOLI : LA FORMA NORMALE
UNA MISURA ANGOLARE si dice IN FORMA NORMALE se in essa il numero delle unità dei primi e dei secondi è INFERIORE al numero di unità necessarie (60) per formare l’unità di ordine immediatamente superiore.
Se per esempio troviamo scritto :
34° 78′ 643”
la misura NON è in forma normale, perché 78 > 60 e 643 > 60.
Vedremo poi come riportare le misure NON in forma normale nella “giusta” forma.
MISURARE GLI ANGOLI : non solo GRADI
Il sistema sessagesimale non è l’ unico usato per le misure degli angoli.
Ci basta osservare i tasti di una calcolatrice scientifica per vedere che ci sono tre sistemi principali le cui unità sono rispettivamente
- grado sessagesimale (DEG);
- grado centesimale (GRAD, da GRADIENTE);
- radiante (RAD).
Il grado centesimale o GRADIENTE è importante per gli strumenti tecnici. Si può passare dal grado sessagesimale al grado centesimale e viceversa con una semplice proporzione, sapendo che l’angolo retto, pari a 90°, corrisponde a 100 gradi centesimali (in simboli 100g).
Invece il radiante è utile nello studio della trigonometria e dell’analisi matematica. Ne riparleremo meglio in seguito. Intanto sappiate che
L’angolo di misura 1 radiante (in simboli 1 rad) è UGUALE ad un angolo con vertice nel centro di una circonferenza e tale che la misura dell’arco da esso individuato è uguale alla misura del raggio della circonferenza stessa.
Visto che un angolo giro corrisponde a 2π radianti, l’angolo piatto (180°) corrisponderà a π radianti, quindi per convertire le ampiezze degli angoli da gradi a radianti e viceversa è sufficiente impostare la seguente proporzione:
180° : π = α° :α rad
Abbiamo cioè:
Se quindi abbiamo un angolo espresso in radianti, per convertirlo in gradi possiamo utilizzare la prima formula inserendo al posto di α la sua effettiva misura in radianti.
Viceversa, se abbiamo un angolo espresso in gradi e lo vogliamo trasformare in radianti, possiamo utilizzare la seconda formula, inserendo al posto di α° l’effettiva misura dell’angolo in gradi.
Possiamo calcolare la misura in gradi di un angolo di 1 radiante ponendo nella prima formula α (rad) = 1. Si ottiene così:
L’angolo che misura un radiante è quello che intercetta un arco di circonferenza lungo quanto il raggio della circonferenza stessa. Il suo valore in gradi è circa 57° 18′.
Riportiamo di seguito una tabella che fornisce i valori degli angoli più comuni espressi sia in gradi che in radianti.
La trovate anche nel pdf allegato
ANGOLI FONDAMENTALI
Nella prossima lezione ci occuperemo delle operazioni con i gradi!