Oggi finalmente affrontiamo un altro argomento molto importante e vediamo come scrivere un vettore sul piano cartesiano!
Nel pdf allegato troverete tutta la “teoria dei vettori” in breve:
VETTORI
RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA DI UN VETTORE: le coordinate cartesiane dei vettori
se applichiamo il vettore 
sull’origine di un sistema di assi cartesiani, esso è univocamente determinato dalle coordinate del suo estremo libero.
Le coordinate corrispondono ai moduli dei vettori che scompongono lungo le direzioni degli assi cartesiani, cioè corrispondono alle lunghezze delle frecce che li rappresentano.
Le coordinate di un vettore sono dette componenti cartesiane del vettore dato.
Un vettore è rappresentato:
- con un numero in uno spazio unidimensionale (x);
- da una coppia di numeri in uno spazio bidimensionale (x; y);
- con una terna ordinata di numeri in uno spazio tridimensionale (x, y, z).
OPERAZIONI CON I VETTORI IN RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA
La rappresentazione cartesiana di un vettore è molto utile per semplificare i calcoli, perché ci permette di trasformare le operazioni tra vettori in operazioni tra numeri, seguendo regole opportune.
Vediamo come procedere.
SOMMA E DIFFERENZA DI VETTORI IN RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA
Siano dati due vettori 
e , espressi secondo le loro componenti cartesiane per il momento nella forma:
⇒ Le componenti del vettore somma sono uguali alla somma delle componenti omologhe dei vettori dati.
Come si vede dalla figura, le componenti del vettore somma:
sono date dalla somma delle componenti x e y dei due vettori. Risulta cioè:
- wx = ux + vx
- wy = uy+ vy
⇒ Le componenti del vettore differenza sono uguali alla differenza delle componenti omologhe dei vettori dati.
Risulta cioè, per le componenti cartesiane del vettore differenza
- dx = ux – vx
- dy = uy – vy
ESPRESSIONE CARTESIANA DEL PRODOTTO SCALARE
Consideriamo due vettori
e chiamiamo α l’angolo formato dalle loro direzioni.
Sappiamo che il prodotto scalare fra , che indichiamo con
è la grandezza scalare definita come il prodotto dei moduli a e b dei due vettori per il coseno dell’angolo α fra essi compreso:
Il prodotto scalare si può esprimere molto semplicemente usando le componenti cartesiane dei vettori.
Dato un sistema cartesiano Oxy, i versori e degli assi, essendo due vettori di modulo uguale a 1 e mutuamente perpendicolari, obbediscono alle relazioni:
Dati due vettori:
appartenenti a un piano cartesiano, otteniamo :
cioè :
il prodotto scalare fra i due vettori è uguale alla somma dei prodotti delle loro componenti x e y.
ESEMPIO
Se abbiamo due vettori
il loro prodotto scalare è semplicemente:
Espressione cartesiana del prodotto vettoriale
Come sappiamo, Il prodotto vettoriale fra due vettori , che indichiamo con
è un vettore :
con direzione perpendicolare al piano individuato da e verso uscente dal palmo della mano destra quando il pollice è disposto nel verso di 
e le altre dita sono orientate come 
:
Il modulo del prodotto vettoriale è uguale al prodotto dei moduli a e b dei due vettori di partenza per il seno dell’angolo α fra essi compreso:
p = a · b sinα
Ricordiamo che il prodotto vettoriale gode delle seguenti proprietà:
- anticommutativa (invertendo l’ordine dei vettori il prodotto vettoriale cambia verso):
- distributiva rispetto alla somma:
Vediamo ora come esprimerlo nelle sue componenti cartesiane.
Scegliamo un sistema cartesiano Oxyz avente gli assi x e y nel piano dei due vettori .
Tenendo conto della definizione di prodotto vettoriale, si trova che per i versori degli assi valgono le relazioni:
Da queste relazioni otteniamo :
In rappresentazione cartesiana, quindi, il prodotto vettoriale di due vettori , appartenenti al piano xy, è il vettore 
diretto lungo l’asse z con componente scalare :
pz = (ax by − ay bx).
Il suo modulo è:
p = |ax by − ay bx|
ESEMPIO
Calcoliamo il prodotto vettoriale dei vettori
appartenenti al piano xy. Il modulo del loro prodotto vettoriale è pari a:
p = |ax by − ay bx| = |(-4) 3 – (-2) 2| = | -12 + 4| = 8
Tale vettore è diretto lungo l’asse z ed ha componente scalare: pz = (ax by − ay bx) = −8