Dopo aver enunciato il teorema di Pitagora ed aver conosciuto meglio Pitagora stesso, vediamo come questo teorema ci permette di risolvere tante altre figure geometriche. Ogni volta che “vediamo” un triangolo rettangolo, infatti, possiamo applicare il famoso teorema.
Vediamo insieme come è facile applicarlo al caso del quadrato
TEOREMA DI PITAGORA E QUADRATO
Disegniamo un quadrato ABCD ed indichiamo con l il suo lato. Tracciamo la sua diagonale AC. Come potete vedere dalla figura, la diagonale divide il quadrato in due triangoli rettangoli identici.
Ciascuno dei due triangoli rettangoli ha:
- come CATETI due lati l del quadrato;
- come IPOTENUSA la diagonale d del quadrato.
Conoscendo la misura del lato e applicando il TEOREMA DI PITAGORA possiamo calcolare la diagonale.
Abbiamo infatti:
Lavoriamo un pochino su questa formula, per ottenere una forma più semplice. Siccome la somma di due numeri uguali è il doppio di uno di essi, la formula precedente può essere scritta come:
Sappiamo che, per le proprietà dei radicali, la radice quadrata di un prodotto è uguale al prodotto delle radici quadrate dei singoli fattori. Possiamo perciò scrivere :
Sappiamo che la radice quadrata del quadrato di un numero è uguale al numero stesso, per cui la radice quadrata di l2 è uguale ad l. Possiamo scrivere:
che è la formula che dobbiamo ricordare.
La lunghezza della DIAGONALE di un QUADRATO si ottiene MOLTIPLICANDO la misura del suo lato per la radice quadrata di 2.
Se avete buona memoria, potete anche ricordare il valore di √2, pari a 1,414, ovvero
d = 1,414 x l
Dalla formula precedente, ricaviamo la formula che ci permette di calcolare il lato di un quadrato, se conosciamo la lunghezza della diagonale. Abbiamo infatti:
ovvero
l = 0,717 x d
TEOREMA DI PITAGORA E QUADRATO. Esempi
Vediamo ora qualche esempio, per capire meglio come applicare le due formule precedenti.
ESEMPIO 1
Supponiamo che ci sia richiesto di calcolare il perimetro di un quadrato, sapendo che la sua diagonalemisura m 5.
Come sappiamo, per poter calcolare il perimetro di un quadrato, dobbiamo conoscere la lunghezza del lato. Conosciamo però la misura della diagonale, per cui possiamo applicare il teorema di Pitagora e determinare il lato.
Sappiamo infatti che
l = 0,717 x d
Per cui, con i valori numerici dati, otteniamo :
l = 5 x 0,717 = 3,54 m
Non ci resta che calcolare il perimetro richiesto. Risulta infatti :
P = 4 x l
ovvero:
P = 3,54 x 4 = 14,16 m
ESEMPIO 2
Vogliamo ora calcolare la diagonale di un quadrato di cui conosciamo l’estensione dell’area, pari a 25 m².
Per poter calcolare la diagonale, dobbiamo conoscere la lunghezza del lato. Anche se non abbiamo a disposizione questo dato, possiamo ricavarlo facilmente dal valore dell’area.
Sappiamo infatti che, per un quadrato :
A = l²
Di conseguenza :
l = √A
Con i valori numerici dati:
l = √25 = 5 m
Possiamo ora applicare il teorema di Pitagora per calcolare la diagonale richiesta:
d = 1,414 x l = 1,414 x 5 = 7,07 m