TEOREMA di PITAGORA e TRIANGOLO EQUILATERO
Dopo aver enunciato il teorema di Pitagora, vediamo ora come utilizzarlo anche per risolvere problemi riguardanti altre figure geometriche. Infatti ogni volta che in una figura noi riusciamo ad individuare un triangolo rettangolo, possiamo applicare il teorema di Pitagora!
Vediamo come “funziona” con i triangoli equilateri
TEOREMA di PITAGORA e TRIANGOLO EQUILATERO
Un triangolo equilatero ha la particolarità di avere tutti i lati uguali.
Come si vede dalla figura a lato, l’ALTEZZA AH (h) divide il nostro triangolo in due TRIANGOLI RETTANGOLI uguali.
Ciascuno dei due triangoli rettangoli congruenti ha:
- come CATETI, rispettivamente, l’altezza h e metà della base l, cioè l/2;
- come IPOTENUSA il lato l.
Se quindi conosciamo la lunghezza del lato, possiamo applicare il TEOREMA DI PITAGORA e trovare la misura dell’altezza. In formule :
Lavoriamo un po’ su questa formula, per ottenere una forma più semplice.
Poiché il quadrato di 2 è uguale a quattro, la nostra formula può essere scritta anche come :
Calcolando il minimo comune denominatore ( cioè 4) , sotto la radice quadrata, otteniamo:
da cui, svolgendo i calcoli, ricaviamo :
Siccome, per le proprietà dei radicali :
- la radice quadrata di un prodotto è uguale al prodotto delle radici quadrate dei singoli fattori
- e la radice quadrata di un quoziente è uguale al quoziente delle radici quadrate dei suoi termini
possiamo anche scrivere :
che possiamo scrivere anche come:
che è la formula che dovete ricordare. Ovvero :
La lunghezza dell’ALTEZZA di un TRIANGOLO EQUILATERO si ottiene MOLTIPLICANDO la misura della metà del suo lato per la radice quadrata di 3.
Siccome la radice quadrata di tre è uguale a 1,732, dividendo tale valore per due otteniamo :
h = l x 0,866
Dalla formula precedente si ricava la formula inversa:
ovvero, con il fattore numerico 0, 866 :
l = h/ 0,866
Ricapitolando:
TEOREMA di PITAGORA e TRIANGOLO EQUILATERO. Esempi
Vediamo come utilizzare queste formule per risolvere i problemi.
ESEMPIO 1
Supponiamo che ci venga richiesto di trovare l’area di un triangolo equilatero il cui lato misura cm 20.
Come sappiamo, per determinare l’area di un qualsiasi triangolo, dobbiamo conoscere la base e l’altezza. Noi conosciamo solamente la base, ma applicando il teorema di Pitagora possiamo calcolare facilmente l’altezza. Infatti :
h = l x 0,866
Con i valori numerici forniti, abbiamo :
h =20 x 0,866 = 17, 32
Conoscendo base e l’altezza, possiamo calcolare l’area. Ricordiamo infatti che :
A = (b x h)/ 2
Con i valori numerici a nostra disposizione, otteniamo :
A = (20 x 17,32)/2 = 173,2 cm2.
Vedremo molti altri esempi prossimamente!