Oltre a occuparci dei ragazzi che andranno in prima media e superiore, continuiamo anche il ripasso per quanti andranno in seconda classe, sia delle medie che delle superiori. Inoltre l’argomento “potenze” è di quelli considerati fondamentali quando si arriva in prima superiore!
E allora vediamo insieme che cosa si intende con questo termine e quali proprietà si applicano!
POTENZE E PROPRIETÀ: che cos’è una potenza
Ci sono moltiplicazioni particolari nelle quali tutti i fattori sono uguali. Per esempio:
2 x 2 x 2 x 2
Per evitare scritture così lunghe, è stata introdotta una nuova operazione, la potenza. La scrittura
2 x 2 x 2 x 2
diventa così
24 (si legge «2 alla quarta»).
Il numero 2 è la base e il numero 4 è l’esponente della potenza.
La base indica quale fattore viene moltiplicato per se stesso, l’esponente indica il numero di fattori uguali che vanno moltiplicati.
In altre parole (definizione):
l’elevamento a potenza è quell’operazione che ci permette di associare a due numeri, a ed n, detti BASE ed ESPONENTE, un terzo numero, detto POTENZA, che si ottiene moltiplicando la base per se stessa tante volte quanto indicato dall’esponente.
se l’esponente è MAGGIORE di 1, la potenza è il prodotto di tanti fattori quanti vengono indicati dall’esponente, tutti uguali alla base.
ESEMPI
- 2 x 2 x 2 = 2 3 = 8 (Si legge 2 alla terza uguale a 8)
- 3 x 3 = 3 2= 9 (Si legge 3 alla seconda uguale a 9 oppure 3 al quadrato)
- 5 x 5 x 5 x 5 = 5 4 = 625 (Si legge 5 alla quarta uguale a 625)
POTENZE E PROPRIETÀ : 1 E 0
Poco sopra abbiamo detto che l’esponente deve essere MAGGIORE di 1. Infatti è ragionevole pensare che l’esponente sia maggiore o uguale a 2, per avere almeno una moltiplicazione, ossia due fattori.
Vogliamo però dare un significato anche a potenze con esponente 1 o esponente 0.
Per definizione:
-
elevando a 0 un numero naturale diverso da 0 si ottiene 1:
a0 = 1 se a≠ 0;
-
elevando a 1 un numero naturale si ottiene il numero stesso:
a1 = a.
Non viene definita la potenza con base ed esponente 0:
00 non ha significato.
OSSERVAZIONE :
⇒ Le potenze di 1 sono sempre uguali a 1, qualunque sia l’esponente :
- 15 = 1 x 1 x 1 x 1 x 1 = 1
- 110 = 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 = 1
⇒ Le potenze di 0 sono sempre uguali a 0, qualunque sia l’esponente :
- 04 = 0 x 0 x 0 x 0 = 0
- 08= 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x0 = 0
NOTA :
105 = 10 X 10 X 10 X 10 X 10 = 100.000 ( 1 CON CINQUE ZERI)
Ovvero: le potenze di 10 ci dicono quanti zeri dobbiamo mettere dopo l’1 (vedi NOTAZIONE ESPONENZIALE)
POTENZE E PROPRIETÀ : le proprietà delle potenze
⇒ PRODOTTO DI POTENZE CON LA STESSA BASE
il prodotto di due potenze che hanno la stessa base è ancora una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti:
an x a m = a (n + m)
Ad esempio :
22 x 23 = 2 (2 + 3) = 25
⇒ QUOZIENTE DI POTENZE CON LA STESSA BASE
Il quoziente di due potenze che hanno la stessa base è UGUALE ad una potenza che ha per base la stessa base e come esponente la DIFFERENZA tra gli esponenti:
an : a m = a (n – m)
Ad esempio:
35 : 3 2 = 3 (5- 2) = 3 3 = 3 x 3 x 3 = 27
⇒ POTENZA DI UNA POTENZA
La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il PRODOTTO degli esponenti:
(an)m = a (n x m)
Ad esempio:
(32)4 = 3 (2 x 4) = 38
Infatti, per definizione di potenza, dobbiamo moltiplicare la base, cioè 32, 4 volte per se stessa:
32x 32 x 32 x 32
ovvero, applicando ancora il concetto di potenza a 32
⇒ PRODOTTO DI POTENZE CON LO STESSO ESPONENTE
Il prodotto di due o più potenze aventi lo stesso esponente è UGUALE alla potenza avente per BASE il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente :
a n x b n x c n = (a x b x c) n
Ad esempio:
32 x 22 = (3 x 2)2 = 62
⇒ QUOZIENTE DI POTENZE CON LO STESSO ESPONENTE
Il quoziente di due potenze aventi lo stesso esponente è UGUALE alla potenza avente per BASE il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente :
a m : b m = (a :b ) m
Ad esempio:
152 : 5 2 = (15 : 5)2 = 32= 9
POTENZE E PROPRIETÀ. Le espressioni con le potenze
Abbiamo già detto che un’espressione è definita come una sequenza di operazioni con i numeri naturali :
34 + 2 x 52– 1 – 32 : 23
Quando nell’espressione compaiono delle potenze, le operazioni vanno eseguite con un ordine ben preciso:
PRIMA si calcolano le potenze, POI le moltiplicazioni e le divisioni, nell’ordine in cui sono scritte, INFINE le addizioni e le sottrazioni, sempre nell’ordine in cui sono scritte.
Le potenze hanno la precedenza su tutte le altre operazioni.
In pratica, come già sapevamo, alcune operazioni hanno la precedenza rispetto ad altre:
- le potenze vanno calcolate PRIMA DI TUTTE LE ALTRE OPERAZIONI
- Moltiplicazioni e divisioni hanno pari precedenza ma vanno eseguite prima di addizioni e sottrazioni
- addizioni e sottrazioni hanno pari precedenza e vanno eseguite per ultime.
Semplificare un’espressione significa sostituirla con una più semplice che abbia lo stesso valore. Le espressioni con le potenze mantengono le stesse regole studiate per le espressioni algebriche, con l’unica avvertenza che le potenze hanno la precedenza su tutte le altre operazioni.
Se compaiono delle parentesi, esse modificano l’ordine in cui si svolgono le operazioni. Infatti vanno sempre eseguite prima le operazioni nelle parentesi tonde, poi quelle nelle parentesi quadre e infine quelle nelle graffe. All’interno delle parentesi valgono poi le regole di precedenza tra operazioni viste prima. Ovvero :
prima si calcolano le potenze, poi moltiplicazioni e divisioni, infine le addizioni e le sottrazioni
POTENZE E PROPRIETÀ. ESEMPI
Vediamo ora alcuni esempi.
ESEMPIO 1
Semplifichiamo l’espressione seguente
34 + 2 x 52– 1 – 32 : 23
Calcoliamo prima le potenze :
81 + 2 x 25 – 1 – 32 : 8
Ora dobbiamo calcolare moltiplicazioni e divisioni:
81 + 50 – 1 – 4
Infine, eseguiamo addizioni e sottrazioni, nell’ordine in cui compaiono:
131 – 1 – 4 = 130 – 4 = 126
ESEMPIO 2
Come dicevamo poco sopra, se nell’espressione compaiono delle parentesi, esse modificano l’ordine in cui si svolgono le operazioni. Infatti vanno sempre eseguite prima le operazioni nelle parentesi tonde, poi quelle nelle parentesi quadre e infine quelle nelle graffe.
In ogni caso, all’interno delle coppie di parentesi, vanno rispettate le regole di precedenza tra operazioni viste prima. Ovvero : dapprima si calcolano le potenze, poi moltiplicazioni e divisioni, infine le addizioni e le sottrazioni
Vogliamo ad esempio semplificare la seguente espressione :
[(10 – 5 + 3)2 – 3 x 10] : ( 42 + 1) + 134 : 133
Applicando le regole viste otteniamo:
[(8)2 – 3 x 10] : ( 16 + 1) + 13 =
[64 – 30] : 17 + 13 =
34 : 17 + 13 = 2 + 13 = 15