Dopo aver parlato di scomposizione e raccoglimento totale, oggi ci occupiamo del raccoglimento parziale. Vediamo insieme in che cosa consiste.
RACCOGLIMENTO PARZIALE : che cos’è
Eseguire un “raccoglimento parziale” significa effettuare dei raccoglimenti tra alcuni gruppi dei termini di un polinomio.
I raccoglimenti parziali sono utili quando ci consentono poi di eseguire un successivo raccoglimento TOTALE.
Vediamo come procedere con alcuni esempi.
Esempio 1
Consideriamo il polinomio:
ax+bx+ 3a+ 3b
Non c’è un divisore (diverso da 1) comune a tutti i suoi termini, quindi non è possibile effettuare un raccoglimento totale. Possiamo però eseguire un “raccoglimento parziale”: in pratica, effettuiamo dei raccoglimenti tra alcuni gruppi dei termini del polinomio.
Nel polinomio precedente, possiamo notare che i primi due termini del polinomio hanno in comune il fattore x mentre gli altri due termini hanno in comune il fattore 3.
Possiamo quindi raccogliere il fattore x tra i primi due termini e il 3 tra gli altri due termini. Otteniamo così:
x (a+b) + 3 (a+b)
Siccome questi raccoglimenti non sono effettuati fra tutti i termini del polinomio ma solo tra alcuni, sono detti raccoglimenti parziali.
Salta subito all’occhio che, dopo aver effettuato i raccoglimenti parziali, il polinomio presenta due termini che hanno in comune il fattore (a+b).
Possiamo perciò effettuare un RACCOGLIMENTO TOTALE del fattore comune (a+b). Ricapitolando, otteniamo perciò:
ax+bx+ 3a+ 3b = x (a+b) + 3 (a+b) = (a+b) (x+3)
Esempio 2:
Vediamo insieme un altro esempio. Consideriamo il polinomio:
a2x+a2y -bx-by
Notiamo che i primi due termini hanno in comune il fattore a2 mentre gli ultimi due termini hanno in comune -b
Possiamo quindi raccogliere a2 tra i primi due e -b tra gli ultimi due termini. Otteniamo:
a2x+a2y -bx-by = a2(x+y) -b (x+y)
Notiamo ora che i due termini hanno in comune il fattore (x+y). Effettuiamo quindi un raccoglimento totale :
a2x+a2y -bx-by = a2(x+y) -b (x+y) = (x+y) (a2-b)
RICORDA: Molti polinomi possono essere scomposti eseguendo prima dei raccoglimenti parziali e poi un raccoglimento totale.
Non ci sono regole precise per scegliere fra quali termini eseguire i raccoglimenti parziali ma bisogna sempre tenere presente l’obiettivo finale: i raccoglimenti parziali vanno effettuati in modo da consentire, successivamente, un raccoglimento totale.
ESEMPIO 3
Scomponiamo in fattori
3ax +3bx + ay + by
Notiamo che i primi due termini hanno in comune il fattore 3x mentre gli ultimi due hanno il fattore comune y. Possiamo quindi effettuare un raccoglimento parziale:
3ax +3bx + ay + by = 3x(a+b) + y (a+b)
I due termini tra parentesi sono uguali, per cui possiamo effettuare un raccoglimento totale :
3x(a+b) + y (a+b) = (a+b) (3x+y)
A questo punto la nostra scomposizione è completa, avendo ottenuto polinomi di primo grado IRRIDUCIBILI.
ESEMPIO 3
Scomponiamo il seguente polinomio:
x2-xy -x+y
Possiamo raccogliere la x tra i primi due termini mentre tra gli ultimi due termini sembra non esserci nulla da raccogliere. In realtà possiamo raccogliere il fattore -1, in modo da ottenere il binomio (x-y), che ci permetterà poi di effettuare un raccoglimento totale:
Otteniamo quindi:
x2-xy -x+y = x(x-y) -1(x-y) = (x-y) (x-1)
Potevamo procedere anche in maniera diversa, raccogliendo la x tra il primo e il terzo termine e -y tra il secondo e il quarto:
Otteniamo così :
x2-xy -x+y = x(x-1) -y(x-1) = (x-y) (x-1)
ovvero lo stesso risultato ottenuto in precedenza
Nel pdf allegato troverete molti altri esercizi per allenarvi.
raccoglimento parziale
SCOMPOSIZIONE : PER SAPERNE DI PIU’
LA SCOMPOSIZIONE DEI POLINOMI
metodi
- RACCOGLIMENTO PARZIALE
- RACCOGLIMENTO TOTALE
- Riconoscimento di prodotti notevoli
- SCOMPOSIZIONE DI UN TRINOMIO DI SECONDO GRADO (trinomio speciale o trinomio caratteristico)
- MEDIANTE TEOREMA E REGOLA DI RUFFINI