Con questo metodo finiamo finalmente di parlare di “scomposizione dei polinomi”. Faremo poi un rapido passaggio con le frazioni algebriche e torneremo poi a parlare di equazioni e disequazioni.
Parleremo poi di funzioni e relazioni e riprenderemo molti altri argomenti che vi saranno utili per tutto il corso di studi. Comunque, per il momento credo che ci fermeremo per circa un mese, dedicandoci ad altri argomenti. Come ormai sapete, tocca studiare per l’esame di maturità!
Intanto terminiamo questo argomento.
SCOMPOSIZIONE CON TEOREMA E REGOLA DI RUFFINI
Consideriamo un polinomio P(x) e supponiamo di conoscere uno zero del polinomio, cioè un numero a tale che
P(a) = 0.
Vale la seguente scomposizione:
P(x) = (x- a) Q(x)
dove Q(x) è il quoziente della divisione di P(x) per (x- a).
Se P(x) ha coefficienti interi, i suoi eventuali zeri razionali sono da ricercare fra i numeri del tipo
con
- p divisore del termine noto di P(x)
- q divisore del coefficiente del suo termine di grado massimo.
Vale infatti il seguente teorema:
TEOREMA degli Zeri razionali di un polinomio a coefficienti interi
Gli eventuali zeri razionali (non nulli) di un polinomio a coefficienti interi sono i numeri della forma , dove p è un divisore, positivo o negativo, del termine noto del polinomio e q è un divisore, positivo o negativo, del coefficiente del suo termine di grado massimo.
In particolare, se il coefficiente del termine di grado massimo del polinomio è 1, allora gli eventuali zeri razionali (non nulli) del polinomio sono da ricercare tra i divisori, positivi o negativi, del termine noto del polinomio.
Vediamo che cosa significa tutta questo con un esempio, che come sempre vale più di mille parole
SCOMPOSIZIONE CON TEOREMA E REGOLA DI RUFFINI: determinare gli zeri di un polinomio
ESEMPIO 1: cerchiamo gli eventuali zeri razionali del polinomio
P(x) = 2x3 + x2 + x − 1.
Siccome P(x) ha coefficienti interi, possiamo utilizzare il teorema precedente. Calcoliamo quindi tutti i divisori p (positivi e negativi) del termine noto (che è −1) e tutti i divisori q (positivi o negativi) del coefficiente di x3 (che è 2).
- p: ±1 Divisori di −1
- q: ±1, ±2 Divisori di 2
Ora costruiamo tutti i possibili rapporti p/q :
Questi sono i numeri candidati a essere zeri del polinomio. Dobbiamo ora capire se qualcuno di essi è effettivamente uno zero. Usiamo quindi teorema del resto e calcoliamo per quale valore
P(x) = 0
Abbiamo
P(−1) = 2(−1)3 + (−1)2 + (−1) − 1 = −3 ⇒ −1 non è uno zero
P( 1) = 3 ⇒ 1 non è uno zero
P(−1/2) = −3/2 ⇒ −1/2 non è uno zero
P(1/2) = 0 ⇒ 1/2 è uno zero
ESEMPIO 2
Nel caso del polinomio
P(x) = x3+ 2x2 − 6
che ha il coefficiente di x3 uguale a 1, gli eventuali zeri razionali sono da ricercare tra i divisori positivi o negativi di −6, cioè nell’insieme:
{±1, ±2, ±3, ±6}
Gli zeri del polinomio
P(x) = x3 – 4x2 + x – 4
si trovano invece nell’insieme {±1, ±2, ±4}
⇒ Scomposizione di un polinomio P(x) tramite la ricerca dei suoi zeri
Combinando le osservazioni iniziali ai criteri sugli zeri (interi e razionali), possiamo indicare una nuova strategia per cercare di scomporre un polinomio.
- Cerchiamo eventuali zeri del polinomio P(x)
- Se troviamo uno zero, ad esempio a, effettuiamo la divisione di P(x) per (x-a) utilizzando la REGOLA DI RUFFINI. Otterremo così il quoziente Q(x) della divisione
- Scriviamo la scomposizione del polinomio : P (x) = (x-a) Q(x)
- Eventualmente procediamo con un’ulteriore scomposizione di Q(x)
Nel caso precedente, abbiamo trovato che ½ è uno zero del polinomio
P(x) = 2x3 + x2 + x − 1.
Usiamo la regola di Ruffini per scomporlo
Il nostro polinomio diventa quindi:
2x3 + x2 + x − 1 = (x-1/2) (2x2 + 2x + 2) = (x-1/2) 2(x2 + x + 1)
Nel pdf allegato troverete altri esempi e molti esercizi da svolgere per allenarvi.
SCOMPOSIZIONE CON IL METODO DI RUFFINI
SCOMPOSIZIONI ESERCIZI DI RIPASSO E COMPRENSIONE
LA SCOMPOSIZIONE DEI POLINOMI : metodi di scomposizione
- RACCOGLIMENTO PARZIALE
- RACCOGLIMENTO TOTALE
- Riconoscimento di prodotti notevoli
- SCOMPOSIZIONE DI UN TRINOMIO DI SECONDO GRADO (trinomio speciale o trinomio caratteristico)
- trinomio di secondo grado non monico
- trinomio a coefficienti letterali
- trinomi riconducibili con sostituzioni al trinomio speciale
- MEDIANTE TEOREMA E REGOLA DI RUFFINI