Finora ci siamo occupati dei sistemi lineari di due equazioni in due incognite. Oggi vedremo come comportarci nel caso di sistemi leggermente più grandi. In futuro vedremo come risolvere i sistemi utilizzando altri strumenti ben più complessi.
Per il momento limitiamoci a quello che abbiamo a nostra disposizione
SISTEMI DI TRE EQUAZIONI IN TRE INCOGNITE: che cosa sono
Consideriamo i sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite, del tipo
Una SOLUZIONE di un sistema di equazioni in tre incognite è una TERNA ORDINATA di numeri reali x,y,z), che soddisfa contemporaneamente TUTTE le equazioni che compongono il sistema.
COME SI RISOLVONO
I metodi risolutivi di sostituzione, del confronto e di riduzione possono essere applicati anche a sistemi di primo grado di tre (o più) equazioni in tre (o più) incognite.
Il metodo grafico non è facilmente applicabile, perché linterpretazione grafica di un sistema di tre incognite può avvenire solo nello spazio, in uno spazio cartesiano con tre assi.
Il metodo di Cramer si può utilizzare anche in questo caso, ma richiede la conoscenza di un pochino di algebra delle matrici
SISTEMI DI TRE EQUAZIONI IN TRE INCOGNITE: esempi
Vediamo come si risolvono i sistemi di questo tipo con qualche esempio. Nel primo vedremo come applicare il metodo di sostituzione ai sistemi lineari 3 x 3 e nel secondo invece ci occuperemo del metodo di riduzione
ESEMPIO 1
Risolviamo il seguente sistema:
Notiamo che la y compare con coefficiente unitario nella prima equazione, per cui ricaviamola velocemente (nella terza ha segno negativo) e poi sostituiamo il suo valore nelle altre due equazioni:
La seconda e la terza equazione formano ora un sistema di due equazioni nelle due incognite x e z. Occupiamoci di questo “sistema ridotto”:
Sommando i termini simili otteniamo:
Dalla terza equazione ricaviamo :
Sostituendo nella prima otteniamo un’equazione con la sola z:
Risolvendola, otteniamo :
da cui x = 1
Ritorniamo al sistema di partenza, per poter fare le dovute sostituzioni:
Sostituendo x = 1 e z = -1 nella prima, otteniamo la soluzione richiesta:
In conclusione, il sistema ha come soluzione
RICAPITOLANDO ⇒ METODO DI SOSTITUZIONE PER UN SISTEMA 3 x 3
- si ricava da una delle tre equazioni del sistema l’espressione di un’ incognita in funzione delle altre due;
- si sostituisce nelle altre due equazioni l’espressione trovata. Queste due equazioni formano un “sistema ridotto”, di due equazioni in due incognite, che sappiamo risolvere
- risolviamo il sistema in due incognite con uno dei metodi visti per questi sistemi, in modo da determinare i valori di due delle tre incognite
- sostituiamo i valori delle due incognite ricavati al passo 3 nell’ equazione ottenuta al PASSO 1. Troviamo così il valore della terza incognita
- Scriviamo la terna di valori che risolve il sistema
ESEMPIO 2
Vediamo ora come applicare il metodo di riduzione ai sistemi di tre equazioni in tre incognite. Risolviamo il sistema seguente:
Sommiamo membro a membro la I e la II equazione per eliminare z. Otteniamo così un’equazione contenente solo x e y:
Dobbiamo ora trovare una seconda equazione senza la z. Eliminiamo la z sommando membro a membro la III e la II moltiplicata per 2. Otteniamo
Il nostro sistema “ridotto” con le sole incognite x ed y diventa:
Possiamo risolvere questo sistema di due equazioni in due incognite, utilizzando ancora una volta il metodo di riduzione. Ci basta moltiplicare la prima equazione per 2 e poi sottrarre membro a membro. Otteniamo così un’equazione contenente la sola y :
Avendo il valore della y, possiamo ricavare anche x da una delle due equazioni del sistema “ridotto”. Sostituendo y = -1 nella prima otteniamo:
Ritorniamo ora al nostro sistema iniziale, per determinare la z da una qualsiasi delle equazioni che lo compongono. Dalla I otteniamo :
Il nostro sistema ha quindi soluzione (3/2, -1, ½)
Nell’immagine la “soluzione grafica”, dove A rappresenta proprio il punto trovato prima
RICAPITOLANDO ⇒ METODO DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE PER UN SISTEMA 3 x 3
- Utilizzando il metodo di addizione e sottrazione (o di riduzione) eliminiamo un’incognita da due equazioni del sistema
- eliminiamo la STESSA INCOGNITA eliminata nel passo 1 da altre due equazioni, DIVERSE da quelle usate nel PASSO 1.
- applicando ancora il metodo di riduzione, ricaviamo il valore di un’incognita dalle due equazioni in due incognite, ottenute come risultato dei PASSI 1 e 2
- applichiamo il metodo di SOSTITUZIONE per ricavare il valore delle due incognite rimaste
- scriviamo la terna di numeri soluzione del sistema
A questo punto non ci resta che occuparci dei sistemi letterali che tanto vi spaventano e poi, nel prossimo fine settimana, ci occuperemo di esercizi e ripasso dei sistemi lineari. Infatti a questo punto dobbiamo fare un leggero passo indietro e parlare, oltre che di calcolo letterale, anche di disequazioni. Passeremo poi a parlare di equazioni di secondo grado!