Concludiamo con il metodo di Cramer i metodi risolutivi dei sistemi lineari. Vedremo come si applica nel caso di un sistema di due equazioni in due incognite. Ricordiamo prima quali sono gli altri metodi che possiamo usare per risolvere un sistema lineare.
I metodi di soluzione
Per risolvere un sistema lo si riduce solitamente in forma normale applicando i principi di equivalenza delle equazioni.
Si utilizzano poi diversi metodi. In particolare, per la risoluzione di un sistema lineare, possiamo usare CINQUE metodi:
- GRAFICO
- SOSTITUZIONE
- CONFRONTO
- RIDUZIONE (ADDIZIONE E SOTTRAZIONE)
- CRAMER
A seconda del sistema o del problema che stiamo risolvendo, può essere utile usare uno dei cinque metodi.
IL METODO DI CRAMER
La soluzione del sistema
con a, a1, b, b1≠ 0
è data dalle formule:
Per ricordare queste formule, possiamo utilizzare i determinanti.
Chiamiamo DETERMINANTE del sistema il numero D definito da:
Si moltiplicano gli elementi in diagonale e, se si va da dx verso sinistra, si mette il segno negativo!
Scriviamo poi altri due determinanti, Dx e Dy:
- Dx è il determinante ottenuto da quello del sistema sostituendo, nella prima colonna, i termini noti ai coefficienti di x:
Esso si chiama DETERMINANTE RELATIVO A x
- Dy è il determinante ottenuto da quello del sistema sostituendo, nella seconda colonna, i termini noti ai coefficienti di y:
Esso si chiama DETERMINANTE RELATIVO A y
Le soluzioni del sistema diventano così:
IL METODO DI CRAMER : ricapitoliamo
Questo è lalgoritmo semplificato per applicare questo metodo:
- Calcoliamo il determinante del sistema D
- Successivamente ricaviamo il determinante Dx
- Calcoliamo poi il determinante Dy
- Applichiamo le formule e ricaviamo la soluzione:
IL METODO DI CRAMER : esempi
Vediamo come funziona questo metodo, con alcuni esempi. Iniziamo dal calcolo dei determinanti
CALCOLO DEI DETERMINANTI : esempio
Calcola il determinante:
Ricordiamo che, in generale:
Nel nostro caso abbiamo:
Sul pdf troverete altri esercizi
RISOLUZIONE DI UN SISTEMA CON IL METODO DI CRAMER: esempio
Utilizzando il metodo di Cramer, risolviamo il seguente sistema:
Calcoliamo il determinante D, formato dai coefficienti di x e di y (colonna in rosso e in blu):
Calcoliamo Dx, ottenuto da D sostituendo la prima colonna dei coefficienti di x con i termini noti (colonna in verde invece di quella in rosso):
Calcoliamo Dy, ottenuto da D, sostituendo la seconda colonna dei coefficienti di y con i termini noti( sostituiamo la colonna in blu con quella in verde):
Calcoliamo infine la soluzione:
La stessa soluzione otteniamo anche per via grafica:
