Eccoci ad uno dei miei metodi di risoluzione dei sistemi preferiti, che ci permette, quando utilizzabile, di ottenere rapidamente la soluzione di un sistema. Lo utilizzerete spesso anche in altri ambiti, come ad esempio in Chimica e Fisica, specialmente quando andrete a studiare le ossido-riduzioni.
I metodi di soluzione dei sistemi lineari
Per risolvere un sistema lo si riduce solitamente in forma normale applicando i principi di equivalenza delle equazioni.
Si utilizzano poi diversi metodi. In particolare, per la risoluzione di un sistema lineare, possiamo usare CINQUE metodi:
- GRAFICO
- SOSTITUZIONE
- CONFRONTO
- RIDUZIONE (ADDIZIONE E SOTTRAZIONE)
- CRAMER
A seconda del sistema o del problema che stiamo risolvendo, può essere utile usare uno dei cinque metodi.
METODO DI RIDUZIONE : come funziona
E’ detto metodo di addizione e sottrazione, perché per applicarlo è necessario sommare (o sottrarre) membro a membro le equazioni del sistema.
Di seguito i passaggi che occorre svolgere, in generale, per trovare la soluzione di un sistema con il metodo di riduzione.
- Moltiplichiamo una o entrambe le equazioni per fattori non nulli, in modo che i coefficienti di una delle variabili risultino uguali od opposti.
- Se i coefficienti ottenuti al punto 1 sono uguali, sottraiamo membro a membro le due equazioni; se i coefficienti sono opposti, sommiamo membro a membro; otteniamo così un’equazione in una sola incognita
- Risolviamo l’equazione in una sola incognita
- Ripetiamo i passi 1, 2 e 3 per determinare l’altra incognita
METODO DI RIDUZIONE: una curiosità
La paternità del metodo di riduzione è generalmente attribuita al matematico tedesco Karl Friedrich Gauss, che tra il 1803 e il 1809, per studiare l’orbita di un asteroide, si trovò a risolvere un sistema di sei equazioni lineari in sei incognite.
Fu così che formulò le regole generali di quello che, da allora, è noto anche come metodo di eliminazione gaussiana o metodo di Gauss -Jordan e si utilizza per sistemi con molte incognite!
METODO DI RIDUZIONE: esempi
Vogliamo risolvere il sistema seguente, utilizzando il metodo di Gauss:
Il sistema è già in forma normale. Per utilizzare il metodo di riduzione, possiamo procedere in due modi, eliminando la x o la y.
Decidiamo di volere eliminare la x. Dobbiamo moltiplicare la prima equazione per 3 e la seconda per 4, ovvero per i coefficienti numerici di x :
Otteniamo :
Siccome i coefficienti di x hanno lo STESSO SEGNO, sottraiamo la seconda equazione dalla prima. Otterremo così un’equazione che contiene solo y :
Sostituendo questo valore in una qualsiasi delle due equazioni del sistema di partenza, ricaviamo x. Ad esempio, dalla prima otteniamo:
Nel pdf allegato troverete altri esercizi da risolvere utilizzando questo metodo. Una volta completato il metodo di Cramer, risolveremo insieme molti esercizi sui sistemi!