FRAZIONI PER RIPASSARE

Si lo so: parliamo spesso di frazioni ma per prepararsi al TOLC-I occorre avere una buona conoscenza delle proprietà e delle operazioni sui numeri interi (o relativi), razionali e reali.

Rivediamo quindi insieme i numeri razionali, partendo dal concetto di FRAZIONE

FRAZIONI PER RIPASSARE : definizioni

Ricordiamo la definizione :

Una frazione è il quoziente fra due numeri interi a e b, con a e b appartenenti all’insieme ℤ e b ≠ 0. La frazione si scrive:

dove a è il numeratore e b è il denominatore.

Se numeratore e denominatore hanno lo stesso segno la frazione è positiva, se hanno segno discorde la frazione è negativa.

TIPI DI FRAZIONI

Una frazione a/b , con a, b∊N, b ≠ 0, è:

propria se a<b;
apparente se a è multiplo di b;
impropria se a> b e a non è multiplo di b.

Dalla definizione si deduce che:

FRAZIONI PER RIPASSARE : FRAZIONI EQUIVALENTI

Due frazioni

sono equivalenti se

a · d = b · c

e si scrive

PROPRIETÀ INVARIANTIVA

moltiplicando o dividendo numeratore o denominatore di una frazione per un numero diverso da zero, si ha una frazione equivalente:

Una frazione a/b si dice irriducibile o ridotta ai minimi termini se a e b sono primi fra loro

. Per ridurre una frazione ai minimi termini si applica la proprietà invariantiva dividendo numeratore e denominatore per il M.C.D.

FRAZIONI PER RIPASSARE : CONFRONTO TRA FRAZIONI

Operazioni con le frazioni

Dati due numeri razionali a/b e c/d le operazioni sono così definite:

⇒ addizione e sottrazione :

dove b · d è il minimo comune multiplo fra i denominatori (detto anche minimo comune denominatore, m.c.d.)

⇒ moltiplicazione:

Dobbiamo moltiplicare i numeratori tra loro e i denominatori tra loro

⇒ FRAZIONE OPPOSTA

L’opposto di a/b è :

Risulta :

⇒ FRAZIONE RECIPROCA

Il reciproco di a/b è il numero razionale che si ottiene scambiando tra loro numeratore e denominatore:

Risulta quindi

⇒ DIVISIONE

⇒ Elevamento a potenza

La potenza n-esima di un numero razionale , a/b, con n ∈ ℕ e n > 0, è data da :

Le proprietà delle potenze sono le stesse viste in precedenza e valgono anche le stesse regole relative ai segni.

Ampliamo il concetto di potenza considerando la potenza n-esima di un numero relativo a ≠ 0 con esponente intero negativo:

ovvero: La potenza di un numero razionale, diverso da 0, con esponente intero negativo è una potenza che ha per base il reciproco del numero dato e per esponente l’opposto dell’esponente

FRAZIONI PER RIPASSARE : Numeri decimali

Data una frazione, possiamo trasformarla in un numero decimale dividendo il numeratore per il denominatore. Il valore di una frazione può essere espresso eseguendo la divisione tra numeratore e denominatore. Il quoziente ottenuto può essere un numero :

intero se il numeratore è multiplo del denominatore;
decimale finito, cioè un numero che presenta dopo la virgola un numero finito di cifre;
decimale illimitato periodico (chiamato semplicemente numero periodico).

Una frazione che ha come denominatore una potenza di 10, con esponente maggiore di zero, si chiama frazione decimale, e il numero decimale corrispondente si ottiene spostando a sinistra la virgola:

a/10 = 0,a
b/100= 0,0b
c/1000 = 0,00c

Una frazione con denominatore uguale a 100 può anche essere espressa utilizzando la notazione percentuale (con simbolo %, che significa ×1/100).

FRAZIONE GENERATRICE

Una frazione ridotta ai minimi termini genera un numero decimale finito solo se i fattori primi del denominatore sono potenze di 2 e di 5.

Quando i fattori primi del denominatore di una frazione (ridotta ai minimi termini) non sono potenze di 2 e di 5, il risultato è un numero decimale illimitato periodico, ovvero un numero che dopo la virgola presenta un gruppo di cifre, dette periodo, che si ripetono indefinitamente. Il periodo si scrive una sola volta soprassegnato:

Le cifre comprese tra la virgola e il periodo sono dette antiperiodo:

dove bc è l’antiperiodo.

RICAPITOLANDO

Un numero decimale può essere visto come la somma della sua parte intera con frazioni che hanno le cifre decimali per numeratori e potenze di 10 per denominatori.

Data una frazione, possiamo trasformarla in un numero decimale dividendo il numeratore per il denominatore. Se nella divisione otteniamo un resto uguale a zero, il numero è decimale finito.

45/120 = 0,375

Se non c’è un resto uguale a zero, i resti sono tuttavia sempre minori del divisore, quindi, prima o poi, incontreremo di nuovo lo stesso resto e otterremo le stesse cifre decimali. Allora, quando il numero non è decimale finito, ha cifre che si ripetono periodicamente: il numero è decimale periodico. Chiamiamo periodo il gruppo di cifre che si ripete. Un numero decimale periodico è:

semplice se le cifre si ripetono subito dopo la virgola;
misto se le cifre si ripetono non sono subito dopo la virgola. Chiamiamo antiperiodo il gruppo di cifre decimali tra la virgola e il periodo

DAL NUMERO DECIMALE ALLA FRAZIONE : Frazione generatrice

È possibile trasformare un numero decimale nella frazione dalla quale discende; la frazione ottenuta è detta frazione generatrice.

Se il numero decimale è limitato, la frazione generatrice è ottenuta scrivendo al numeratore il numero e al denominatore la cifra 1 seguita da tanti zeri quante sono le cifre decimali:

0,a = a/10

0,0b = b/100

Si può poi, se necessario, ridurre la frazione ai minimi termini, semplificandola.

Per ricavare la frazione generatrice di un numero decimale periodico si applica la seguente regola:

il numeratore è uguale alla differenza tra il numero intero che si ottiene togliendo la virgola e il numero intero che si ottiene togliendo le cifre del periodo;
il denominatore è composto da tanti nove quante sono le cifre del periodo e tanti zeri quante sono le cifre dell’antiperiodo:

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