Prima di “lanciarci” nello studio vero e proprio della Fisica, rivediamo insieme la matematica di cui avrete bisogno. Infatti, per quanto mi piaccia la “matematica pura”, per me resta soprattutto uno strumento per comprendere meglio le scienze. Man mano che proseguirete negli studi, vi renderete sempre più conto dell’importanza che la matematica riveste nella risoluzione di problemi scientifici e imparerete che ogni nuova conoscenza matematica vi fornisce nuovi strumenti per capire chimica, fisica, biologia,….
Siccome il primo impatto con la Fisica (e la Chimica) spesso è traumatico proprio per la mancanza delle necessarie conoscenze matematiche, ho pensato di dedicare alcune lezioni al ripasso dei concetti necessari ad affrontare lo studio dei primi due anni delle superiori.
Vediamo innanzi tutto che cosa i prof di Fisica si aspettano che voi sappiate di matematica, e che spesso danno per scontato, passando direttamente al “cuore” della materia.
MATEMATICA E FISICA 1 : che cosa sapere
Per non essere in difficoltà quando iniziate lo studio di questa materia affascinante, dovrete padroneggiare alcuni strumenti matematici. In particolare, i vostri prof di Fisica si aspettano che voi sappiate
- che cosa sono le frazioni e come si eseguono le operazioni con esse
- calcolare una percentuale e risolvere una proporzione
- Calcolare un’EQUIVALENZA
- che cosa sono arrotondamento e troncamento di un numero decimale
- come utilizzare le potenze di 10 e le proprietà delle potenze
- risolvere equazioni (almeno quelle ad un’incognita)
- che cosa sono le funzioni, riconoscendo grandezze direttamente e inversamente proporzionali
- interpretare correttamente una formula e calcolare le formule inverse
- che cos’è il teorema di Pitagora
- cominciate a prendere confidenza con le funzioni goniometriche SENO e COSENO
- leggere e disegnare grafici
Iniziamo quindi occupandoci del ripasso di questi argomenti, a partire dalle frazioni
MATEMATICA E FISICA 1 : le frazioni
RICORDA:
Una frazione è il quoziente fra due numeri interi a e b, con a e b appartenenti all’insieme ℤ e b ≠ 0. La frazione si scrive:
dove a è il numeratore e b è il denominatore. Se numeratore e denominatore hanno lo stesso segno la frazione è positiva, se hanno segno discorde la frazione è negativa.
Una frazione a/b , con a, b∊N, b ≠ 0, è:
- propria se 0 < a < b. Una frazione propria è quindi minore di 1
- apparente se a è multiplo di b. Essa in realtà rappresenta un numero INTERO
- impropria se a > b e a non è multiplo di b. E’ quindi maggiore di 1
OPERAZIONI CON LE FRAZIONI
RICORDA: diciamo che una frazione è RIDOTTA AI MINIMI TERMINI se NON possiamo dividere numeratore e denominatore per uno stesso numero.
In pratica, in una frazione ridotta ai minimi termini a e b sono primi fra loro.
Per ridurre una frazione ai minimi termini, dividiamo numeratore e denominatore per il M.C.D.
⇒ ADDIZIONE E SOTTRAZIONE TRA FRAZIONI :
Date due frazioni aventi lo stesso denominatore, la somma si esegue riscrivendo lo stesso denominatore e mettendo al numeratore la somma algebrica dei numeratori
Se le due frazioni a/b e c/d hanno DIVERSO DENOMINATORE, dobbiamo effettuare la riduzione al minimo comune denominatore m.c.d., cioè dobbiamo calcolare il minimo comune multiplo fra i denominatori. Abbiamo quindi 
RICORDA: L’opposto di a/b è -a/b:
da cui si deduce che la somma di due opposti è uguale a zero:
⇒ MOLTIPLICAZIONE TRA FRAZIONI
Dobbiamo moltiplicare i numeratori tra loro e i denominatori tra loro:
Se un numeratore e un denominatore, della stessa frazione o di frazioni diverse, hanno qualche fattore in comune, ci conviene SEMPLIFICARE PRIMA di eseguire la moltiplicazione, per avere calcoli con numeri più piccoli.
⇒ FRAZIONE RECIPROCA o INVERSA
Il reciproco di a/b è la frazione INVERSA b/a, ottenuta scambiando numeratore e denominatore:
In pratica ci basta “ribaltare” la frazione di partenza per ottenere il suo reciproco.
Si deduce che :
⇒ DIVISIONE TRA FRAZIONI
Per dividere due frazioni, moltiplichiamo la prima per la reciproca della seconda:
Per eseguire le operazioni si adottano le stesse regole viste per le operazioni di base.
⇒ Elevamento a potenza
La potenza n-esima di un numero razionale , a/b, con n ∈ ℕ e n > 0, si ottiene elevando alla stessa potenza numeratore e denominatore :
Le proprietà delle potenze sono le stesse viste in precedenza e valgono anche le stesse regole relative ai segni viste in Z.
⇒ POTENZA CON ESPONENTE INTERO NEGATIVO
Avendo introdotto il concetto di reciproco di una frazione, possiamo ampliare anche il concetto di potenza, considerando la potenza n-esima di un numero relativo a ≠ 0 con esponente intero negativo:
La potenza di un numero razionale, diverso da 0, con esponente intero negativo è una potenza che ha per base il reciproco del numero dato e per esponente l’opposto dell’esponente