MATEMATICA E FISICA 7 – funzioni e formule
Dopo aver visto quanto sia importante sapere risolvere un’equazione per poter arrivare alla soluzione dei problemi di Fisica (e non solo), oggi ci occupiamo di un altro argomento molto importante. Vediamo insieme che cosa sono le funzioni e come esse ci permettano di interpretare correttamente le formule fisiche
MATEMATICA E FISICA 7 – funzioni e formule : che cos’è una funzione
Da un punto di vista matematico, “funzione” è una relazione che associa tra loro due grandezze, che di solito indichiamo con x e y
x è chiamata variabile indipendente mentre y è detta variabile dipendente
Una funzione in pratica è una legge, che ASSOCIA a OGNI VALORE della x un BEN PRECISO valore della y. Esempi di funzioni sono le formule geometriche.
Questa formula permette di calcolare il VOLUME di una sfera. Essa è una FUNZIONE. Infatti r (raggio della sfera) è la variabile INDIPENDENTE mentre V è la variabile DIPENDENTE.
Come vedremo, anche le formule fisiche sono FUNZIONI. Infatti sono UGUAGLIANZE tra una VARIABILE e un’espressione contenente altre variabili:
una formula definisce la variabile a sinistra dell’uguale in funzione delle variabili a destra.
Per capire qual è il valore della variabile dipendente, ci basta sostituire alle variabili a destra i valori.
RICORDA : Quando sostituiamo i valori ai simboli di una formula, dobbiamo SEMPRE indicare le unità di misura.
Infatti oltre a controllare che siano UGUALI le espressioni a destra e a sinistra del simbolo di uguale, dobbiamo anche effettuare l’ANALISI DIMENSIONALE, verificando l’esatta corrispondenza tra le unità di misura.
MATEMATICA E FISICA 7 – funzioni e formule : rappresentare le funzioni
Oltre che mediante la “formula”, possiamo rappresentare le funzioni mediante grafici o tabelle
1)RAPPRESENTAZIONE CON UNA TABELLA
Per ottenere la tabella, ci basta assegnare dei valori ARBITRARI alla x e poi calcolare i corrispondenti valori della y mediante la formula.
Consideriamo per esempio la formula
y= 3x + 2
Assegniamo alla x dei valori a nostro piacere e vediamo in corrispondenza di quei valori quanto vale la y.
Se x = – 1
y = 3 ⋅(-1) + 2 = -1
Per x = 2
y = 3 ⋅ (2) + 2= 8
Inseriamo i valori in una tabella:
2) RAPPRESENTAZIONE MEDIANTE UN GRAFICO
Il metodo più utilizzato per rappresentare una funzione è il diagramma cartesiano, detto anche GRAFICO della funzione. Di solito mettiamo la variabile indipendente sull’asse orizzontale (asse delle ascisse) e la variabile dipendente sull’asse verticale (asse delle ordinate)
Il grafico si ottiene UNENDO i punti del piano calcolati con la formula che rappresenta la funzione. Spesso compiliamo prima la tabella e poi riportiamo i valori sul piano cartesiano. Unendo i punti, possiamo tracciare il grafico. Infatti ogni punto di un grafico ha due coordinate: un’ascissa x e un’ordinata y. Perciò, a ogni punto P di un grafico corrispondono due valori: uno della variabile x e uno della variabile y.
Nel caso della funzione precedente
y = 3x +2
unendo i punti individuati mediante i valori calcolati nella tabella otteniamo una retta,
Come avrete capito, il grafico che si ottiene dipende dalla funzione che vogliamo rappresentare. Intanto ricordate che una funzione si dice
- CRESCENTE se aumentando x aumenta anche la y
- DECRESCENTE se invece all’aumentare della x la variabile y diminuisce
Guardando il grafico possiamo quindi capire quale sia l’andamento delle due grandezze e quale sia il loro legame.
- Se quando la x cresce aumenta anche la y, diciamo che le due grandezze sono DIRETTAMENTE PROPORZIONALI
- Se invece quando la y cresce la y diminuisce, allora diremo che le due grandezze sono INVERSAMENTE PROPORZIONALI.
RICORDA: In fisica grandezze sono quelle quantità come la lunghezza, il tempo, l’area…, che si possono misurare e che si esprimono in relazione a un’unità di misura
IL GRAFICO CI DA’ INFORMAZIONI QUALITATIVE E QUANTITATIVE. Ne riparleremo nella prossima lezione
MATEMATICA E FISICA 7 : la matematica per la fisica
- PRIMA LEZIONE : che cosa sono le frazioni e come si eseguono le operazioni con esse
- SECONDA LEZIONE : calcolare una percentuale e risolvere una proporzione
- TERZA LEZIONE : calcolare un’EQUIVALENZA
- QUARTA LEZIONE : che cosa sono arrotondamento e troncamento di un numero decimale
- QUINTA LEZIONE : come utilizzare le potenze di 10 e le proprietà delle potenze
- SESTA LEZIONE : risolvere equazioni (almeno quelle ad un’incognita)
- SETTIMA LEZIONE : che cosa sono le funzioni, come si rappresentano
- OTTAVA LEZIONE: leggere e disegnare grafici.
- NONA LEZIONE : interpretare correttamente una formula e ricavare le formule inverse
- LEZIONE 10 : che cos’è il teorema di Pitagora
- LEZIONE 11 : cominciate a prendere confidenza con le funzioni goniometriche SENO e COSENO
- LEZIONE 12: RICONOSCERE grandezze direttamente e inversamente proporzionali