Ieri abbiamo visto che cosa sono le funzioni e abbiamo accennato che possiamo descrivere la corrispondenza tra due variabili, oltre che mediante l’espressione matematica anche
- con una tabella
- con un grafico nel piano cartesiano.
Oggi ci occupiamo un pochino meglio dei grafici, per comprendere quali strumenti importanti siano
MATEMATICA E FISICA 8 : i grafici o diagrammi cartesiani
Come accennato, i grafici sono strumenti molto utili perché ci forniscono informazioni qualitative e quantitative sulle grandezze che ci interessano. Infatti ci basta guardare il grafico per capire con un’occhiata se la funzione che esso rappresenta è crescente o decrescente, quale legame esiste sta le due grandezze sugli assi e anche stabilire il valore di x ed y associato a un particolare punto.
Il grafico si ottiene UNENDO i punti del piano calcolati con la formula che rappresenta la funzione. Spesso compiliamo prima la tabella e poi riportiamo i valori sul piano cartesiano. Unendo i punti, possiamo tracciare il grafico. Infatti ogni punto di un grafico ha due coordinate: un’ascissa x e un’ordinata y. Perciò, a ogni punto P di un grafico corrispondono due valori: uno della variabile x e uno della variabile y. In termini matematici : P(x;y)
Quando tracciamo un grafico, sugli assi cartesiani dobbiamo indicare le grandezze con le unità di misura. Dobbiamo inoltre scegliere in maniera opportuna le scale per adattare le dimensioni del grafico a quelle della tabella.
RICORDA:
Un diagramma (o grafico) cartesiano è costituito da due rette perpendicolari orientate, dette assi cartesiani, che si intersecano in un punto chiamato origine degli assi. L’asse orizzontale è detto asse delle ascisse (o asse x), l’asse verticale è invece l’asse delle ordinate (o asse y)
Fissando dei segmenti unitari sui due assi, ogni punto del piano è individuato da una coppia di numeri che rappresentano la sua ascissa e la sua ordinata.
L’ascissa e l’ordinata di un punto sono dette coordinate cartesiane. Esse vengono scritte tra parentesi, indicando PRIMA l’ascissa e POI l’ordinata, ad esempio: A (3 ; 4)
Gli assi cartesiani dividono il piano in quattro quadranti, numerati in senso antiorario a partire da quello in cui giacciono i punti con ascisse e ordinate positive. Osserviamo che:
■ i punti che stanno nel I quadrante hanno ascissa e ordinata positive;
■ i punti che stanno nel II quadrante hanno ascissa negativa e ordinata positiva;
■ i punti che stanno nel III quadrante hanno ascissa e ordinata negative;
■ i punti che stanno nel IV quadrante hanno ascissa positiva e ordinata negativa.
MATEMATICA E FISICA 8 : grafici e funzioni
Come già detto in precedenza, quando tra due grandezze y e x esiste una relazione per cui a ogni valore di x corrisponde un unico valore di y, diciamo che y è funzione di x.
Infatti la variabile x è detta variabile indipendente, mentre la variabile y è detta variabile dipendente.
Una volta assegnato un valore alla x, il valore della y è univocamente determinato
e possiamo calcolarlo utilizzando la formula matematica che lega la x alla y (in modo da far risaltare il ruolo di y come variabile dipendente).
Sappiamo inoltre che data una funzione matematica, possiamo rappresentarla mediante una tabella con i valori della variabile x accanto a quelli della variabile y, oppure mediante una curva in un diagramma cartesiano, con la variabile indipendente x sull’asse delle ascisse e la variabile dipendente y sull’asse delle ordinate.
Per tracciare la curva, riportiamo sul diagramma un certo numero di punti corrispondenti a coppie di valori (x ; y) della funzione e poi uniamo questi punti.
Tracciamo ad esempio il grafico della funzione
y= 3x+2
Assegniamo dei valori alla x e vediamo in corrispondenza quali valori assume la y. Otteniamo la seguente tabella:
Riportiamo ora questi valori su un diagramma cartesiano e uniamo i punti. Otteniamo una retta:
Domani vedremo insieme come ricavare le famigerate formule inverse!
RICAPITOLANDO- Per tracciare un grafico:
- tracciamo gli assi e poi indichiamo su ciascuno la quantità rappresentata e l’unità di misura adottata
- fissiamo le scale in modo da rappresentare i dati a nostra disposizione e poi segniamo sugli assi delle TACCHE EQUIDISTANTI. Vicino alle tacche riportiamo i valori che esse indicano
- Segniamo sul piano cartesiano i punti che abbiamo a nostra disposizione (da formula o da tabella)
- uniamo i punti per visualizzare l’andamento del grafico. Normalmente, se usiamo dei dati otterremo una linea spezzata. Partendo da una formula invece di solito si ottiene una linea continua
Nel pdf allegato troverete alcuni esercizi
MATEMATICA E FISICA 8 -LEGGERE E DISEGNARE GRAFICI
- PRIMA LEZIONE : che cosa sono le frazioni e come si eseguono le operazioni con esse
- SECONDA LEZIONE : calcolare una percentuale e risolvere una proporzione
- TERZA LEZIONE : calcolare un’EQUIVALENZA
- QUARTA LEZIONE : che cosa sono arrotondamento e troncamento di un numero decimale
- QUINTA LEZIONE : come utilizzare le potenze di 10 e le proprietà delle potenze
- SESTA LEZIONE : risolvere equazioni (almeno quelle ad un’incognita)
- SETTIMA LEZIONE : che cosa sono le funzioni, come si rappresentano
- OTTAVA LEZIONE: leggere e disegnare grafici.
- NONA LEZIONE : interpretare correttamente una formula e ricavare le formule inverse
- LEZIONE 10 : che cos’è il teorema di Pitagora
- LEZIONE 11 : cominciate a prendere confidenza con le funzioni goniometriche SENO e COSENO
- LEZIONE 12: RICONOSCERE grandezze direttamente e inversamente proporzionali