MATEMATICA E FISICA 9 : formule inverse

MATEMATICA E FISICA 9 : come leggere correttamente le formule e ricavare le formule inverse.

Iniziamo finalmente a entrare nel “vivo” della Fisica parlando di formule. Vedremo poi come sia semplice ricavare le famigerate formule inverse applicando le regole che si utilizzano per risolvere le equazioni.

Come abbiamo già detto, una FORMULA è un’equazione che mette in relazione diverse variabili, ciascuna rappresentata da una lettera. Nelle relazioni che esprimono le leggi fisiche compaiono sempre due o più grandezze e, a seconda dei casi, conosciamo i valori di qualcuna di esse e non di altre.

Possiamo considerare le formule come equazioni ed applicare ad esse i principi di equivalenza delle equazioni per trovare una delle variabili contenute nella formula.

Questo significa ricavare una formula inversa, cioè una nuova relazione che esprima la stessa legge, ma fornendoci la grandezza incognita che desideriamo conoscere.

UNA FORMULA INVERSA è una NUOVA RELAZIONE che esprime la STESSA LEGGE ma con “in evidenza” un’altra grandezza.

Vediamo come procedere nel caso di formule con

SOMME E SOTTRAZIONI
prodotti e quozienti
somme e prodotti
radici quadrate

MATEMATICA E FISICA 9 : FORMULE CON SOMME E SOTTRAZIONI

Se nella formula compaiono solo somme e sottrazioni, isoliamo da un lato della formula la grandezza che vogliamo calcolare e spostiamo tutte le altre grandezze dall’altro lato, CAMBIANDO il segno. Applichiamo cioè il PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA.

Consideriamo per esempio la formula

A= B + C

Supponiamo di voler ricavare B. In pratica SPOSTIAMO C al primo membro CAMBIANDO IL SUO SEGNO (sottraiamo da entrambi i membri della formula C). Avremo:

A – C = B+C – C

+ C e – C del secondo membro si annullano tra di loro, per cui possiamo riscrivere la formula direttamente come

B = A – C.

Se invece vogliamo ottenere l’incognita C, sottrarremo la B ad entrambi i membri ed otterremo:

C = A – B

Facciamo un altro esempio. Il teorema di Pitagora ci dice che il quadrato dell’ipotenusa c è uguale alla somma dei quadrati dei cateti a e b:

c² = a² + b²

Noti i cateti, possiamo calcolare l’ipotenusa:

Se invece conosciamo un cateto e l’ipotenusa, possiamo ricavare l’altro cateto, Se ad esempio vogliamo ricavare a, sottraiamo b² da entrambi i membri:

c² – b²= a² + b²– b²

da cui :

a²= c² – b²

ovvero :

Analogamente, se vogliamo ricavare b, sottraiamo a² da entrambi i membri e otteniamo:

b²= c² – a²

cioè:

MATEMATICA E FISICA 9 : FORMULE CON PRODOTTI E QUOZIENTI

Se nella formula compaiono solo prodotti e quozienti, applichiamo il SECONDO PRINCIPIO di equivalenza, moltiplicando o dividendo entrambi i membri della formula per opportune quantità, che ci permettono di “isolare” la grandezza che vogliamo ricavare. Vediamo alcuni esempi.

1)Consideriamo la relazione che lega densità d, volume V e massa m di un corpo

Supponiamo di conoscere la densità d e il volume V e di voler trovare la massa m. Come dicevamo, il “trucco” consiste nell’isolare la grandezza che vogliamo trovare in uno dei due membri dell’equazione, eliminando le altre grandezze. In questo caso, ricordando le proprietà delle equazioni, moltiplichiamo entrambi i membri della relazione per V:

–

Supponiamo di conoscere la densità d e la massa m e di voler calcolare il volume V. In questo caso V è al denominatore, quindi, dobbiamo prima isolare V dividendo entrambi i membri per m e poi scrivere il reciproco di entrambi i membri:

2) Consideriamo un altro esempio. La velocità media v è definita come il rapporto tra la distanza percorsa D e il tempo t impiegato a percorrerla :

Se conosciamo v= 100 km/h e t= 0,25 h, possiamo calcolare la distanza percorsa. Moltiplichiamo entrambi i membri per t:

ovvero

D= vt

Con i valori numerici dati ricaviamo

D= 100 (km/h) (0,25 h) = 25 km

Supponiamo di conoscere v= 80 km/h e D= 40 km. Per conoscere quanto tempo impieghiamo a percorrere questa distanza, moltiplichiamo i due membri della formula della velocità per t. Come prima otteniamo

vt= D

Per isolare il tempo t, dividiamo entrambi i membri per v:

Ovvero

Con i valori numerici dati otteniamo :

t = 0,5h = 30 min

MATEMATICA E FISICA 9 : FORMULE CON PRODOTTI E SOMME

Se nella formula che stiamo considerando compaiono sia fattori che addendi, dovremo applicare entrambi i principi di equivalenza. Vediamo come procedere.

Consideriamo la formula per calcolare la velocità

Dove v₀ = velocità iniziale

a= accelerazione

t= tempo

Supponiamo di voler calcolare l’accelerazione a.

1)Sottraiamo v₀ da entrambi i membri della formula (ovvero la spostiamo al primo membro cambiata di segno):

2) Dividiamo tutto per t :

Otteniamo perciò:

MATEMATICA E FISICA 9 : FORMULE CON QUADRATI

Se nella formula compaiono dei quadrati, dovremo estrarre la radice quadrata, che è l’operazione inversa dell’elevamento a potenza.

Consideriamo la formula dell’area del quadrato :

A= l²

Vogliamo calcolare il lato. Estraiamo perciò la radice quadrata da entrambi i membri:

Siccome radice quadrata e elevamento al quadrato si annullano a vicenda, otteniamo:

Facciamo un altro esempio. La formula per calcolare l’area del cerchio è

A = π∙ r²

Vogliamo calcolare il raggio r. Dividiamo innanzi tutto entrambi i membri per π :

Da cui

Estraiamo ora la radice quadrata da entrambi i membri:

Ovvero :

ATTENZIONE: non possiamo estrarre la radice quadrata di un numero negativo!

Infatti, in generale, quando estraiamo la radice quadrata di due membri di un’equazione, NON otteniamo un’equazione equivalente.

Nel pdf allegato troverete la lezione in formato stampabile con una serie di esercizi proposti. Se avete difficoltà, contattatemi e proveremo a risolverli insieme

lezioni ignoranti formule inverse

MATEMATICA E FISICA 9: bibliografia

Ugo Amaldi – Il nuovo Amaldi per i licei scientifici. Meccanica e termodinamica (Vol. 1) Zanichelli, 2021
Giuseppe Ruffo, Nunzio Lanotte – Fisica: lezioni e problemi. Meccanica, termodinamica, onde, elettromagnetismo, Zanichelli 2021
James S. Walker – Il Walker. Corso di fisica. Per il primo biennio delle Scuole superiori, Pearson 2021