MATEMATICA E FISICA 11

Come abbiamo già accennato in precedenza, anche se la trigonometria e le funzioni goniometriche sono un argomento di matematica del III anno, per lo studio della Fisica vi serve conoscere almeno che cosa siano seno, coseno e tangente. In particolare, vi permetteranno di effettuare la scomposizione di un vettore lungo i due assi perpendicolari di un sistema di coordinate cartesiane.

Anche se abbiamo già parlato dei vettori, torneremo presto ad accennarvi, per fare un “corso ordinato” di Fisica.

MATEMATICA E FISICA 11 : Le funzioni goniometriche

Le componenti cartesiane di un vettore , che di solito indichiamo concon a_x e a_y, possono essere calcolate a partire dal modulo e dalla direzione di , ovvero conoscendo l’angolo che il vettore forma con l’asse delle ascisse.

Per ottenere una relazione tra l’angolo e le componenti cartesiane di , dobbiamo introdurre tre funzioni molto importanti, che ci limiteremo a usare praticamente: le funzioni goniometriche seno, coseno e tangente.

Le tre funzioni goniometriche sono definite come rapporti tra le lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo.

Osserviamo il triangolo rettangolo a lato. Il cateto AC è ADIACENTE all’angolo α mentre il cateto BC è OPPOSTO all’angolo α. Invece AB è la nostra IPOTENUSA.

Chiameremo COSENO (simbolo cos) il rapporto fra la lunghezza del cateto adiacente all’angolo α e la lunghezza dell’ipotenusa:

Chiamiamo SENO (simbolo sin oppure sen) dell’angolo α il rapporto tra la lunghezza del cateto OPPOSTO all’angolo e la lunghezza dell’ipotenusa :

Definiamo infine TANGENTE (simbolo tg o tan) il rapporto fra la lunghezza del cateto opposto all’angolo α e la lunghezza del cateto adiacente:

NOTA: se conosciamo seno e coseno di un generico angolo, possiamo sempre calcolare la sua tangente. Dividendo infatti numeratore e denominatore per l’ipotenusa, otteniamo:

Valori di seno, coseno e tangente per gli angoli più comuni

sen 0° = 0
cos 0° = 1
tg 0° = 0
sen 90° =1
cos 90° = 0
tg 90° = NON ESISTE!
sin 45° = cos 45° = 0,707
tg 45° = 1

RICORDA : seno e coseno di un angolo sono sempre minori o uguali a 1. Vale inoltre la seguente relazione:

MATEMATICA E FISICA 11 : risoluzione dei triangoli

Vediamo come utilizzare quanto detto. Consideriamo un generico triangolo rettangolo e indichiamo con

θ l’angolo acuto
b = cateto opposto all’angolo
c = cateto adiacente all’angolo
a = ipotenusa

In questo modo, possiamo scrivere le seguenti relazioni:

Invertendo tali relazioni, possiamo ricavare le lunghezze dei lati, note le funzioni goniometriche e l’ipotenusa :

Il procedimento che permette di ottenere le lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo sfruttando le funzioni goniometriche prende il nome di “RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI”-

ESEMPIO

Supponiamo di voler calcolare il perimetro di un triangolo rettangolo con il cateto BC = 4 cm e un angolo di 30°.

Per ottenere la lunghezza del perimetro ci occorrono le lunghezze dell’ipotenusa e dell’altro cateto.

Sappiamo però che

Sin 30° = BC / AB

Per l’ipotenusa abbiamo quindi :

AB = BC / sin 30° = 8 cm

Per l’altro cateto potremmo usare il teorema di Pitagora oppure sfruttare il coseno. Infatti

Cos 30° = AC/AB

Di conseguenza:

AC = AB cos 30° = 8 x 0, 866 = 6,9 cm

A questo punto possiamo calcolare il perimetro richiesto:

P = 8 + 4+ 6,9 = 18,9 cm

MATEMATICA E FISICA 11 : Calcolo delle funzioni goniometriche con la calcolatrice scientifica

PRIMA DI TUTTO : controlliamo che la calcolatrice sia impostata per leggere gli angoli in gradi. In genere sul display leggerete una piccola scritta “DEG” o “D” (da DEGREE)

In una calcolatrice scientifica per il calcolo delle funzioni seno, coseno e tangente si utilizzano i tasti sin , cos e tan .

Alcune calcolatrici scientifiche richiedono di inserire prima la funzione e poi il numero, altre prima il numero e poi la funzione. Per sapere come funziona la nostra calcolatrice, proviamo con funzioni e numeri semplici, ad esempio calcolando √4 ( = 2). In questo modo capiremo se dobbiamo prima schiacciare il tasto della funzione e poi il tasto del numero 4 o il contrario.

Nel mio caso, devo prima schiacciare il tasto della funzione e poi inserire il numero.

COME PROCEDERE

CALCOLO DEL SENO di un angolo: digitiamo sin e poi il valore dell’angolo. Se ad esempio vogliamo il sen 40°, otterremo che vale 0,6428….
Per calcolare il coseno di un angolo: digitiamo cos e poi il valore dell’angolo. Ad es, il cos di 80° vale 0,17364….
Se invece conosciamo il valore della funzione goniometrica di un angolo e vogliamo determinare l’angolo, dobbiamo applicare la funzione inversa. In molte calcolatrici troverete indicato sen⁻¹, cos⁻¹, tg⁻¹ In altre calcolatrici invece dovrete usare il tasto 2nd (o SHIFT ) seguito dalla funzione.

Ad esempio per calcolare un angolo conoscendo la tangente, dovremo digitare 2nd (o SHIFT ), poi tan e infine il valore della tangente dell’angolo. Una volta premuto il tasto di UGUALE, avremo il valore dell’angolo cercato.

Supponiamo di voler calcolare l’angolo di cui la tangente misura 0,8177, ovvero tg⁻¹( 0,8177), dovremo digitare 2nd tan (0,8177).

Otterremo 39,2728…° che possiamo approssimare a 39°

Nel pdf allegato troverete tutta la lezione in formato stampabile con numerosi esercizi proposti, per prendere confidenza con queste nuove funzioni.

MATEMATICA E FISICA 11: bibliografia

Ugo Amaldi – Il nuovo Amaldi per i licei scientifici. Meccanica e termodinamica (Vol. 1) Zanichelli, 2021
Giuseppe Ruffo, Nunzio Lanotte – Fisica: lezioni e problemi. Meccanica, termodinamica, onde, elettromagnetismo, Zanichelli 2021
James S. Walker – Il Walker. Corso di fisica. Per il primo biennio delle Scuole superiori, Pearson 2021

MATEMATICA E FISICA 11 : le altre lezioni

PRIMA LEZIONE : che cosa sono le frazioni e come si eseguono le operazioni con esse
SECONDA LEZIONE : calcolare una percentuale e risolvere una proporzione
TERZA LEZIONE : calcolare un’EQUIVALENZA
QUARTA LEZIONE : che cosa sono arrotondamento e troncamento di un numero decimale
QUINTA LEZIONE : come utilizzare le potenze di 10 e le proprietà delle potenze
SESTA LEZIONE : risolvere equazioni (almeno quelle ad un’incognita)
SETTIMA LEZIONE : che cosa sono le funzioni, come si rappresentano
OTTAVA LEZIONE: leggere e disegnare grafici.
NONA LEZIONE : interpretare correttamente una formula e ricavare le formule inverse
LEZIONE 10 : che cos’è il teorema di Pitagora
LEZIONE 11 : cominciate a prendere confidenza con le funzioni goniometriche SENO e COSENO
LEZIONE 12: RICONOSCERE grandezze direttamente e inversamente proporzionali

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